Минимальный принцип для

скоростей напряжений.

Пусть jk - задано.̀́jk*- статически допустимое поле скоростей напряжений.

Абсолютный минимум функционала:

J^*=1/2_V̀́_jk^*̀́_jk^*dV - _Su̀́_jk^*n_k ú̀_j0dS (1)

определенного на статически возможных полях скоростей изменения напряжений достигается на действительных скоростях изменения напряжений(являющихся решением краевой задачи).

Максимальный принцип для

скоростей деформаций.

Абсолютный максимум функционала:

J⁰=1/2_V̀́_jk⁰̀́_jk⁰dV+_VX́̀_jù́_j⁰dV+_SpP̀́_jú̀_j⁰dS (2)

определенного на кинематически возможных скоростях деформаций, достигается на действительных скоростях деформаций. В случае идеально- пластического тела распределение скоростей деформаций не обязательно единственно.

Заметим , что если кинематически возможное поле скоростей деформаций выбрано произвольно, то скорости изменения напряжений не будут удовлетворять уравнениям равновесия в V и статическим краевым условиям на Sp.

Минимальный принцип

для напряжений.

Абсолютный минимум функционала:

J^*=1/2_Væ_jklm_jk^*_lm^*dV+_V_jk^*_jk^*dV - _Su_jk^*n_ku_j0dS (3)

определенного для заданных пластических деформаций на статически возможных состояниях, достигается на действительных состояниях.

Максимальный принцип

для напряжений.

Абсолютный максимум функционала:

J⁰=-1/2_V_jklm(_jk⁰-_jk^(p))(_lm⁰-_lm^(p))dV+_VX_ju_j⁰dV+_SpP_ju_j⁰dS (4)

Определенного для заданных пластических деформаций на кинетически возможных состояниях, достигается на действительных состояниях.

Все эти принципы можно сформулировать как соответствующие теоремы единственности.

Например, теорема единственности напряжений:

Если известно распределение в теле пластических деформаций, то существует единственное распределение напряжений при заданных конечных нагрузки и (или) перемещений точек поверхности тела.

Напряженное и деформированное состояние пластического тела зависит от истории нагружения, поэтому общих экстремальных теорем для напряжений и деформаций в теории пластичности не существует. Однако, если в теле задано распределение пластических деформаций, то распределение напряжений и деформаций могут быть сформулированы вполне определенные экстремальные теоремы. Будем считать, что _jk^p заданы:

_jk^*=1/2(u_j⁰/x_k+u_k⁰/x_j) ; _jk^o(l)=_jk⁰-_jk^p

_jk⁰=_jklm_jk^0(l)

Отметим , что задание пластических деформаций в случае идеально-пластического тела не может быть произвольным. Эти пластические деформации должны быть такими, чтобы распределение напряжений _jk⁰ нигде не превосходило предел текучести.

Применение экстремальных принципов.

Для приближенного определения поля скорости перемещений можно использовать прямой метод вариационного исчисления( В. Ритц, 1908).

Представим:

u_j⁰=_c__j^ где _j^ - известные функции, удовлетворяющие условиям допустимости:

J⁰=J⁰(C_);

J⁰(C_)/C_=0 (,=1,…..,N)