Квантовая физика. / shred1
.pdf
|
|
|
x2 |
|
[U ( x )− |
E ]dx= |
x2 |
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
I = ∫ |
|
∫ |
U0 −1 |
− |
|
Edx, |
|
|
||||||||
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
где х1=0, а x2 = |
a |
1− |
|
|
. Производя замену переменной z = U0 ( 1− |
−) E , по- |
||||||||||||
U0 |
|
|||||||||||||||||
|
a |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
U0 − |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
a |
|
3 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
I = |
|
|
∫ |
zdz= |
|
|
|
(U−0 |
E ) . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
U0 |
3 U0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, коэффициент прохождения частицы через барьер D имеет вид
D ≈ exp − 4 2
3
m a |
|
|
|
|
|
|
3 2 |
||
0 |
(U |
− |
E ) . |
|
!U0 |
||||
0 |
|
|
||
|
|
|
|
Отметим, что прохождение частиц через потенциальный барьер, близкий по форме к треугольному барьеру рассматриваемого вида, имеет место на практике, в частности, при холодной эмиссии электронов с поверхности металлов.
Задача 8. Частица массой m0 падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 и шириной а. Энергия частицы E>U0. Найдите: а) коэффициент прозрачности барьера D; б) значения энергии частицы, при которых она будет беспрепятственно проходить через такой барьер.
Решение. Обозначим цифрой I область х<0, цифрой II область 0<х<а и цифрой III область х>а. Решения уравнения Шредингера в этих трех областях имеют вид
|
|
|
ψ |
1 |
= eik1 x+ |
B e− ik1 x |
− |
область |
I |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ψ |
2 |
= |
|
A eik2 x+ |
B e− ik2 x |
− |
область |
II |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
3 |
= A eik1 x |
− |
область |
III |
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
где k1 = |
2m0 E |
,k2= |
2m0 ( e − |
U0 ) |
. |
|
|
|
||||
!2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
!2 |
|
|
|
|
|
|
||
Условие непрерывности волновых функций и их производных на границах барьера (при х = 0 и х = a) приводит к следующей системе уравнений:
1 + B1= |
|
A+2 |
B2 , |
|
|
|
|||
ik1 − ik1B1= |
ik2 A−2 |
ik2 B2 , |
|
||||||
A eik2a |
+ |
B e− ik2a= |
|
A eik1a , |
|
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
ik |
2 |
A eik2a − |
ik |
B |
e |
− ik2 a= ik A eik1a . |
|||
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
1 |
3 |
|
Решая эту систему, находим амплитуду прошедшей волны
A3 = |
|
|
|
|
|
4k1k2e− ik1a |
|
|
|
. |
|
( k |
1 |
+ |
k |
2 |
)2 eik2 a− |
( k− |
k |
2 |
)2 e− ik2 a |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Коэффициент прохождения частицы над потенциальным порогом D выражается через векторы плотности потока вероятности для падающей и прошедшей волн:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#####" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
|
|
jпрош |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
###" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jпад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае |
#####" |
= |
!k1 |
2 |
|
|
|
###" |
= |
|
!k1 |
, следовательно, |
||||||||||||||||||||||||
jпрош |
|
|
|
|
A3 |
|
, |
|
jпад |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
m |
0 |
|
|
m |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4k1k2e− ik1a |
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
D = |
|
A3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( k |
1 |
|
+ k |
2 |
|
)2 e− ik2a− |
|
( k− |
k |
2 |
)2 e− ik2a |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя сюда выражения для k1 и k2, получаем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
|
|
1+ |
|
|
|
U 2 |
sin2 |
k |
a |
− 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 E( E − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Коэффициент прохождения D обращается в единицу при sink2a=0, т. е. при
2m0 ( E2 − U0 )a = π n.
!
Таким образом, значения энергии частицы, при которых D=1,
|
π 2 |
!2 |
|
2 |
|
|
E = |
|
|
|
n + U0 |
, n= 1,2,3... |
|
2m0 a |
2 |
|||||
|
|
|
||||
Следует подчеркнуть, что хотя значение n = 0 формально и удовлетворяет условию sink2a=0, но при п=0 коэффициент прохождения D не будет равен единице. Дело в том, что при п=0 энергия частицы E=U0, т. е. (E-U0)=0 и параметр k2 также равен нулю. Это означает, что числитель и знаменатель дроби в выражении для D равны нулю. Избавляясь от неопределенности, находим, что коэффициент прохождения при п=0 оказывается равным
|
1+ |
m |
a2U |
|
− 1 |
||
D = |
0 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
||
Отметим, что аналогичным образом решается задача о движении частицы над прямоугольной потенциальной ямой конечной глубины.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО «Изд-во БИНОМ», 1998. 448 с.
2. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с.
3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачи по физике. М.: Высш. шк., 1988. 527 с. 4. Мартинсон Л.К. Методические указания к решению задач по курсу общей
физики. Разделы «Элементы квантовой механики», «Физика твердого тела». М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1983. 64 с.