Квантовая физика. / atom_fizika
.pdf2.Два атома H11 и He24 движутся в одном направлении, причем дебройлевская длина волны каждого атома = 60 пм. Найти длины волн обоих атомов в их Ц – системе.
3.Свободный электрон в начальный момент был локализован в области размером L = 10-8см. Оценить промежуток времени, за который ширина соответствующего волнового пакета увеличится в 102 раз.
4.Параллельный пучок электронов с энергией 40 кэВ дифрагирует на щели шириной 0.6 мкм. Под каким углом обнаружится первый минимум дифракционной картины?
5. Плоская |
волна |
|
де |
Бройля |
описывается |
функцией |
|
|
i |
|
Et) |
|
|
|
|
(Pr |
. |
Показать, что |
вероятность |
обнаружить |
|||
(r,t) Ae |
|
|
частицу в любом месте одинакова.
6.Собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид: (r) C e r a , где С – некоторая постоянная, а – радиус Бора. Найти из условия нормировки постоянную С.
7.Найти результат действия оператора (dxd x)2 на функции cos x и ex.
8.Проверить операторное равенство: x2 dxd 1x x dxd 1.
31
Практическое занятие № 6
Тема: Уровни энергии и орбитали стационарных состояний.
Контрольные вопросы:
1.Какие состояния называются стационарными?
2.Почему квадрат модуля волновой функции (r) 2 называют плотностью электронного облака?
3.Что Вы можете сказать об энергетическом спектре стационарных состояний локализованных частиц (движущихся в ограниченной области пространства, сравнимой с длиной волны де Бройля)?
4.В чем состоит явление туннельного эффекта?
Основные формулы
|
|
x, y, z,t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U x, y, z,t - уравнение Шредингера, |
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
описывающее основной динамический закон квантовой механики,
где (x, y, z, t) – волновая функция, зависящая от координат и времени, U – потенциальная энергия.
|
|
2 |
|
|
|
|
2m |
U |
H - оператор Гамильтона (оператор полной энергии). |
|
|
|
|
= 2 – оператор Лапласса.
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
U x, y, z E x, y, z - стационарное уравнение |
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
Шредингера.
Для стационарных состояний полная волновая функция будет иметь вид:
x, y, z,t r e Et .
где (r) – решение стационарного уравнения Шредингера.
|
|
r |
|
2 |
|
|
dW |
- плотность вероятности положения частицы |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для стационарных состояний не зависит от времени).
32
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
2m U |
0 |
E |
||
|
dW D e |
|
|
- коэффициент прозрачности |
||
|
|
|
||||
|
dx |
|
|
|
|
|
потенциального барьера, если U = U0 = const , не зависит от x (основная формула туннельного эффекта).
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2m U E dx |
- коэффициент |
||||
dW D exp 2 |
|
|
||||||
|
dx |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прозрачности потенциального барьера произвольной формы; x1 и x2 – координаты точек, между которыми U E , U = f (x).
Примеры решения задач
Пример 6.1. Найти вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками в области а / 3 x 2a / 3, где а – ширина ямы.
Решение
Из решения стационарного уравнения Шредингера, описывающего поведение частицы внутри ямы
2
2m
получим:
где k 2 2mE
2
d 2 x E x '' x 2mE x 0 |
, |
|
dx2 |
2 |
|
(x) = A sin (kx + ),
.
Вне ямы волновая функция равна нулю, т.е. вне.(x) = 0, так как потенциальные стенки бесконечные и частица туда попасть не может.
Накладывая на волновую функцию стандартные условия непрерывности:
(0) = 0, (а) = 0,
найдем, что
= 0, k nà ;
Из условия нормировки
33
a dx 1
0
получим, что
A a2 .
Таким образом, волновая функция, описывающая состояние частицы внутри ямы, будет иметь вид:
x a2 sin na x,
где n = 1, 2, 3
Вероятность нахождения частицы в заданном интервале определим по формуле:
W x2 x 2dx .
x1
Так как наименьшей энергии соответствует состояние с n = 1, получим:
|
2a |
|
x dx 1 |
|
|
|
|
|
||
W 2 |
3 sin2 |
|
3 |
0.61. |
||||||
|
||||||||||
2 |
||||||||||
a a |
|
a |
3 |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.2. Найти решение уравнения Шредингера для свободного электрона, движущегося с импульсом Р в положительном направлении оси x.
Решение
Для свободной частицы энергия взаимодействия с внешним полем U
= 0.
Уравнение Шредингера в данном случае запишется в виде: |
||||||
|
x,t |
|
2 |
2 x,t |
. |
|
|
|
|
|
|||
t |
2m dx2 |
Если частица находится в постоянном поле, не зависящем от времени, решение уравнения Шредингера можно искать в виде произведения двух функций:
(x) = (x) (t).
Уравнение Шредингера в этом случае разобьется на два независимых уравнения:
34
d E Ae |
|
|
|
|
Et |
|
|
|
, |
||
dt |
|
|
|
2 d 2 x E x '' x k 2 x 0 ,
2m dx2
где k 2 2mE .
2
Из решения второго уравнения получим, что
x C1e kx C2e kx.
Так как отраженной волны нет, С2 = 0. Следовательно, полная волновая функция свободного электрона будет иметь вид:
x, t B e kx E t .
Учитывая, что волновой вектор k Px , окончательно получим:
|
|
|
Et P x |
|
x,t B e |
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
. |
Пример 6.3. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой в стационарном состоянииx A e 2 x2 , где А и - постоянные.
Решение
Уравнение Шредингера для стационарного состояния имеет вид:
H x E x ,
где
35
|
|
|
2 |
|
d 2 |
U x . |
|
|
H |
|
|
||||
|
|
2m dx2 |
|||||
В данной задаче |
U x |
m 2x2 |
- потенциальная энергия |
||||
|
|
2 |
|
|
гармонического осциллятора (гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы F = -k x).
Следовательно, уравнение Шредингера в данном случае запишется: |
|||
m 2x2 x |
2 |
d 2 x |
E x . |
|
|||
2 |
2m dx2 |
|
Подставив в полученное уравнение функцию
x A e 2 x2
иее вторую производную, получим:
m 2x2 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
|
2 |
|
x E x . |
2 |
2m |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как по условию задачи Е = const.(стационарное состояние), то
m 2x2 2 4 4 x2 2 2 const .
2 2m
Это равенство возможно при условии:
m 2x2 2 4 4x2 0, 2 2m
E 2 2 const . m
Решив первое уравнение, найдем
2 m
2
и, подставив его во второе уравнение, получим энергию гармонического осциллятора с частотой
36
E 2 .
Пример 6.4. Найти вероятность прохождения частицы массой m и
энергией |
Е |
|
сквозь потенциальный барьер, имеющий вид: |
|
U x U |
|
x2 |
||
1 |
|
|
(см. рисунок). |
|
2 |
|
|||
|
0 |
|
|
Решение
Воспользуемся основной формулой туннельного эффекта:
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
2m U x E dx |
. |
||||
D exp 2 |
|
|
||||
|
x1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Подставив в эту формулу U(x) , получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m U |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
U0 x |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
D exp 2 |
|
2m |
|
U |
2 |
U |
x |
2 E 2 dx |
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
U0 E |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Чтобы взять интеграл, сделаем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Uo |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
sin dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
U |
0 |
|
|
|
|
U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пределы x1 и x2 |
найдем из равенства U(x) = E, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
U |
1 |
|
|
|
|
E x |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Учитывая, что
sin |
x |
|
|
U0 |
|
, |
|
|
U0 E |
||||||
|
|
|
|||||
найдем пределы 1 = - /2 и 2 = /2. |
|
|
|
|
Теперь коэффициент прозрачности барьера или вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер определится по
следующей формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
E |
|
|
|||||||
|
|
2 |
2m U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D exp |
|
0 |
|
|
|
1 sin 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos d |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Взяв интеграл, получим, что |
U |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
2m |
|
||||
D exp |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
Задачи для самостоятельного решения
1.В одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками шириной
находится электрон. Найти вероятность нахождения электрона на первом энергетическом уровне во второй четверти ямы.
2.Вычислить энергию, которая необходима, чтобы перевести - частицу, заключенную в одномерной бесконечно глубокой
потенциальной яме, с 3-го энергетического уровня на 4-й, если ширина ямы равна 10-10 м.
3.Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на 1-ом и 2-ом энергетическом уровнях в интервале 1/4 , равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной а с бесконечными стенками.
4.Частица массой m находится в некотором одномерном потенциальном поле U(x) в стационарном состоянии, для которого волновая функция имеет вид:
(x) =A exp (- x2),
где А и - некоторые постоянные. Имея в виду, что U(x) = 0 при x = 0, найти U(x) и энергию частицы.
38
5.Частица с энергией Е U0 подходит слева к потенциальному барьеру, изображенному на рисунке. Найдите отношение амплитуды волновой функции, прошедшей сквозь барьер, к амплитуде волновой функции, падающей на барьер.
|
|
|
|
E |
|
U0 |
|
|
|
|
|
0 |
a |
x |
|
6.Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U(x), показанном на рисунке, где U(0) = . Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области Е U0; привести его к виду:
|
|
|
|
, где k |
2mE |
sink |
|
2 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2m U |
0 |
|
|
Показать с помощью графического решения этого уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дискретный спектр.
U (x) |
|
|
E |
|
U0 |
0 |
|
x |
7.Найти вероятность прохождения частицы массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер, показанный на рисунке.
U(x)
m E
-a |
0 |
a |
x |
39
Практическое занятие №7
Тема: Точное измерение одной физической величины, определение спектра физических величин. Одновременное точное измерение двух физических величин, коммутативность операторов.
Контрольные вопросы:
1.Алгоритм нахождения спектра физических величин.
2.Что в квантовой теории является необходимым и достаточным условием того, чтобы две физические величины можно было измерить одновременно точно?
3.Что Вы можете сказать о собственных волновых функциях
ˆ |
ˆ |
|
2 |
|
|
операторов L |
и Lz |
? |
|
|
|
4.Как ведет себя вектор орбитального момента электрона L в пространстве? Каким является движение электрона в атоме?
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A a - уравнение на собственные значения оператора A и |
|||||
собственные волновые функции , где a - собственные значения |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
оператора |
A (спектр точных значений физической величины a, которой |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
соответствует оператор A ). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AB AB BA - |
коммутатор операторов A и B . |
||||
|
a2 |
b2 |
|
c 2/4 - соотношение |
неопределенности |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гейзенберга, если AB c , где величинам а, b и |
с соответствуют |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
операторы |
A, B |
и C . |
|
|
40