24. Абсолютно твёрдое тело. Уравнение движения абсолютно твёрдого тела.

Абсолютно твёрдым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остаётся постоянным. Любое движение твёрдого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущемся телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Абсолютно твёрдое тело имеет шесть степеней свободы поэтому движение описывается шестью уравнениями; т.е. комбинация поступательного и вращательного движений.

Уравнение движения абсолютно твёрдого тела

Где первые три уравнения – уравнения поступательного движения (движения центра масс), остальные – уравнения вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

25. Вращение твёрдого тела относительно неподвижной оси. Уравнения движения.

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется движение твёрдого тела, при котором все точки прямой, жёстко связанной с телом, остаются неподвижными. Прямая называется осью вращения тела. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. Его положение однозначно определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого условно выбранного начального положения этого тела.

Уравнение динамики тела вращающегося вокруг неподвижной оси имеет вид:

dL_z/dt=M_z^внеш., где L_z – является моментом импульса вращающегося тела относительно оси вращения, а M_z^внеш – главный момент внешних сил.

26. Момент инерции тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера.

Величина I, равная сумме произведений масс m_i всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний ρ_i от данной оси, называется моментом инерции системы относительно этой оси.

Подсчёт момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается ,если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции I_a тела относительно произвольной оси а равен сумме момента инерции I_С тела относительно параллельной ей оси а_С, проходящей через центр масс С тела, и произведение массы m на квадрат расстояния d между этими осями.

I_a=I_С+md² (26.1)

Доказательство:

а и а_С – оси, dm – масса малого элемента тела, ρ, ρ_С – расстояние от малого элемента тела до осей а и а_С. По теореме косинусов: ρ²=ρ_С²+d²+2dρ_Сcosφ и I_a=∫_(m)ρ²dm=∫_(m) ρ_С²dm+md²+2d∫_(m)x^*dm, где x^*=ρ_Сcosφ – абсцисса элемента dm тела в системе координат с началом в центре масс тела и осью абсцисс, пересекающей оси а и а_С и лежащий в перпендикулярной им плоскости. Из определения центра масс следует, что ∫_(m)x^*dm=mx^*_C=0, так как центр масс тела совпадает с началом координат. Таким образом, справедливость соотношения (26.1) доказана.

27. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси.

Рассмотрим абсолютно твёрдое тело, вращающееся около неподвижной оси, проходящей через тело. Мысленно разобьём это тело на маленькие объёмы с элементарными массами m₁, m₂,…,m_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂,…, r_n, от оси вращения. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы опишут окружности различных радиусов r_i и имеют различные линейные скорости υ_i. Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов.

T_вр=∑ⁿ_i=1m_iυ_i²/2=∑ⁿ_i=1m_iω²r_i²/2=(ω²∑ⁿ_i=1m_ir_i²)/2=I_zω²/2, где I_z – момент инерции тела.