43. Уравнение плоской бегущей волны. Волновые уравнения.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось x совпадает с направлением распростронения волны. В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково то смещение ξ будет зависеть только от х и t, т.е. ξ=ξ(x,t). Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией ξ(0,t)=Acosωt, то частицы среды колеблются по тому же закону, но её колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется время τ=х/υ, где υ – скорость распростронения волны. Тогда уравнение колебания частиц примет вид: ξ(x,t)=Acosω(t-x/υ) (43.1).

Уравнение (43.1) есть уравнение бегущей волны. В общем случае уравнение плоской волны, не поглощающей энергию имеет вид ξ(x,t)=Acos[ω(t-x/υ)+φ₀]

Уравнение сферической волны – волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, имеет вид ξ(r,t)=[A₀cos(ωt-kr+ φ₀)]/r, где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды и k – волновое число k=2π/λ=2π/υT=ω/υ.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных

∂²ξ/∂x²+∂²ξ/∂y²+∂²ξ/∂z²=∂²ξ /υ²∂t². или Δξ=∂²ξ /υ²∂t², где υ – фазовая скорость, Δ=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z² – оператор Лапласа.

44. Синусоидальные волны. Фазовая скорость. Длина волны.

Синусоидальная волна – бесконечная, не затухающая упругая волна.

Если волна синусоидальная то ∂²s/∂t²=-ω²s и Δ²s+k²s=0. Скорость распростронения синусоидальной волны называется фазовой скоростью. Она равна скорости перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы синусоидальной волны. В случае плоской синусоидальной волны dx/dt=ω/k=υ. В случае сферической синусоидальной волны dr/dt=ω/k=υ. В случае продольной волны в однородной газообразной среде υ=(K/ρ)^1/2, где ρ – плотность газа, K – коэффициент упругости среды. В случае поперечных упругих волн не ограниченной изотропной твёрдой среде υ=(G/ρ)^1/2, где G – модуль сдвига среды, ρ - её плотность. В случае продольных волн в тонком стержне υ=(E/ρ)^1/2, где E – модуль Юнга для материала стержня, ρ - его плотность. В случае поперечных волн в струне υ=(F/ρS)^1/2, где F – сила натяжения струны, ρ и S – плотность материала струны и площадь её поперечного сечения.

Длина волны (λ) – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза колебания за период.

45. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость.

Принцип суперпозиции (наложения) волн – при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. За скорость распростронения не гармонической волны принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии что tdω-xdk=const, получим dx/dt=dω/dk=U. Скорость U и есть групповая скорость. Её можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени, локализованный в пространстве волновой пакет. В теории относительности доказывается, что групповая скорость U≤с, в то время как для фазовой скорости ограничения не существует.