31. Гармонический осциллятор. Собственные колебания гармонического осциллятора.
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида: s”+ω02s=0. Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения, и служит точной или приближённой моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.
Свободными (собственными) колебаниями гармонического осциллятора называются колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия; колебания, которые совершаются за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
32. Энергия гармонического осциллятора.
Линейный гармонический осциллятор – материальная точка массой m, совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы. Уравнения движения осциллятора имеет вид md2x/dt2=-kx или d2x/dt2+kx/m=0. Где k – коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины. Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора: Wп=kx2/2.
33. Линейный осциллятор с затуханием. Уравнение движение линейного осциллятора и его решение.
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшается.
Для рассмотрения затухающих колебаний обычно используют линейные системы – это идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.
Дифференциальное уравнение свободно затухающих колебаний линейной системы задаётся в виде:
,
(33.1)
где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ=const – коэффициент затухания, ω0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
Решение уравнения (33.1) рассмотрим в виде s=e-δtu (33.2), где u=u(t).
После нахождения
первой и второй производных выражения
(33.2) и подстановки их в (33.1) получим
.
Решение уравнения зависит от знака
коэффициента перед искомой величиной.
Пусть этот коэффициент положителен:
.
Тогда получим уравнение типа:
,
решением которого является функция
u=A0cos(ωt+φ).
Таким образом, решение уравнения в
случае малых затуханий s=A0e-δtcos(ωt+φ),
где δ=r/(2m)
в случае механических колебаний и
δ=R/(2L)
в случае электромагнитных колебаний;
- частота затухающих колебаний; A0e-δt
– амплитуда затухающих колебаний.
Промежуток времени τ=1/δ, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации.
Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение:
называется
декрементом
затухания,
а его логарифм
- логарифмическим
декрементом затухания;
Ne
– число колебаний, совершаемых за время
уменьшения амплитуды в e
раз. Логарифмический декремент затухания
– постоянная для каждой колебательной
системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которое при малых значениях логарифмического декремента равна
34. Затухающие колебания линейного осциллятора.
Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е. Fтр=-rυ=-rx’, где r – коэффициент сопротивления. При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид: mx”=-kx-rx’. Используя формулу:
и принимая, что
коэффициент затухания δ=r/(2m),
получим дифференциальное уравнение
затухающих колебаний маятника:
.
Маятник колеблется по закону
x=A0e-δtcos(ωt+φ) с частотой:
Добротность
пружинного маятника
.
35. Логарифмический декремент затухания и добротность осциллятора.
Промежуток времени τ=1/δ, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации.
Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение:
называется
декрементом
затухания,
а его логарифм
- логарифмическим
декрементом затухания;
Ne
– число колебаний, совершаемых за время
уменьшения амплитуды в e
раз. Логарифмический декремент затухания
– постоянная для каждой колебательной
системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которое при малых значениях логарифмического декремента равна
