12. Центральный удар абсолютно упругих шаров. Расчет скоростей шаров после соударения. Соударение 2х шаров с резко отличающимися массами.

Удар(илисоударение)—это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров) сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами(ударныеилимгновенные силы)столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процес­се их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения пока­зывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей.

Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и да удара называется коэффициентом восстановления :

Если для сталкивающихся тел =0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если =1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел 0 <  < 1 (например, для стальных шаров 0,56, для шаров из слоновой кости 0,89, для свинца 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара.Удар называется центральным,если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Линия удара - общая нормаль, проведённая к поверхностям двух соударяющихся тел в месте их соприкосновения при ударе.

Ударназываетсяпрямым, если скорости центров инерции сталкивающихся тел перед ударом направлены параллельно линии удара.

В противном случае, удар называется косым.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами т₁ и m₂ до удара через v₁ и v₂, после удара—через и (рис. 18). В случае прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицатель-нос — движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(15.1)

(15.2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим

(15.3)

(15.4)

откуда

(15.5)

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

(15.6)

13. Центральный удар абсолютно неупругих шаров. Расчет скоростей шаров после соударения. Соударение 2х шаров с резко отличающимися массами.

Предположим, что шары образуют замкнутую систему. Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар.

Удар двух тел называется абсолютно неупругим, если после удара оба тела движутся как одно единое целое.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает: кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. После такого удара столкнувшиеся тела соединяются воедино и либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполня­ется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механиче­ской энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии механической и внутренней.

Начальные скорости шаров: v1 иv2 , а их массы:m₁иm₂; конечная скорость шаров v. При соударении выполняется закон сохранения импульса:.

Откуда .

Как и следовало ожидать, соединившиеся шары после соударения про­должают двигаться со скоростью центра масс системы до соударения. Энергия, перешедшая при этом во внутреннюю энергию шаров, равна разности кинетических энергий до и после соударения: .

Начальная кинетическая энергия системы: .Определим долю начальной кинетической энергии ушедшей во внутреннюю энергию:

.

Если 2-ой шар до соударения покоился, то.

Абсолютно неупругий удар используют в технике либо для изменения формы тела: ковка, штамповка, клёпка и т.д., либо для перемещения тела в среде с большим сопротивлением: забивание гвоздей, свай и т.п. В 1-ом случае, необходимо, чтобы большая часть начальной кинетической энергии перешла во внутреннюю энергию (деформацию),т.е. , что означает, что масса отковываемого изделия и наковальни должны быть много больше массы молота. Во 2-ом случае, наоборот, необходимо, чтобы большая часть начальной кинетической энергии перешла в кинетическую энергию забиваемого тела, т.е.

, что означает, что масса молота должна быть много больше массы забиваемого тела.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

 Выведем уравнение динамики вращательного движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и (4.3) следует, что скорость изменения момента импульса i-й материальной точки определяется следующим образом:                                           (4.6)       Сложим почленно уравнения (4.6), записанные для каждой из материальных точек тела:(4.7)       Векторная сумма моментов M_i всех внешних сил, приложенных к телу, называетсярезультирующим, или главным, моментом M внешних сил относительно точки О:

      Векторная сумма моментов импульса L_i всех материальных точек тела называется моментом импульса L тела относительно точки О:

      Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

      Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил F_ikвзаимодействия между точками тела равна нулю, т.е.

так как по третьему закону Ньютона силы F_ik и F_ki численно равны, имеют общую линию действия, но направлены в противоположные стороны (рис. 4.4). Поэтому их моменты M_ik = [r_i, F_ik] и M_ki = [r_k, F_ki] относительно точки О численно равны и противоположны по направлению (на рис. 4.4 точки m_i, m_k и О лежат в горизонтальной плоскости, а векторы M_ik и M_kiперпендикулярны этой плоскости). Действительно, r_k = r_i + r_ki, где r_ki - вектор, проведенный из точки m_i в точку m_k. Поэтому M_ki = [r_k, F_ki] + [r_ki, F_ki] = -[r_i, F_ik] = -M_ik, так как векторное произведение векторов r_ki и F_ki, направленных вдоль одной прямой, равно нулю.       На основании изложенного уравнение (4.7) можно записать в следующем виде:                                                (4.8)       Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.       Полученный результат называется основным законом динамики вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Момент импульса является основной динамической характеристикой твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Пусть твердое тело вращается относительно оси под действием нескольких сил с суммарным моментом М относительно той же оси. Тогда работа этих сил приводит к изменению кинетической энергии этого тела.

, ,,

, ,

,,

,

,

,

- основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент силы относительно оси - проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, выбранной на данной оси.

Элементарная работа, совершаемая моментом силы, при вращательном движении относительно неподвижной оси вычисляется по формуле: (*).

Полная работа

Если , то