40.Колебание и характеризующие их величины. Собственные колебания.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия; колебания, которые совершаются за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Вынужденными называются колебания , возникающие в какой либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Период колебаний (T) - наименьший промежуток времени, по истечении которого система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный произвольно выбранный момент.

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. ν=1/T.

Амплитуда колебаний – это максимальное значение колеблющейся величины.

Фаза колебаний – это значение колеблющейся величины в произвольный момент времени (ω₀t+φ).

Наиболее важными величинами, характеризующими механические колебания, являются:

• число колебаний за некоторый промежуток времени t. Обозначается буквой N;

• координата материальной точки или ее смещение (отклонение) — величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени. Обозначается буквой x, измеряется в метрах (м);

• амплитуда — максимальное смещение тела или системы тел из положения равновесия. Обозначается буквой A или x_max, измеряется вметрах (м);

• период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T, измеряется в секундах (с);

• частота — число полных колебаний в единицу времени. Обозначается буквой ν, измеряется в герцах (Гц);

• циклическая частота, число полных колебаний системы в течение 2π секунд. Обозначается буквой ω, измеряется в радиан в секунду (рад/с);

• фаза — аргумент периодической функции, определяющий значение физической величины в любой момент времени t. Обозначается буквой φ, измеряется в радианах (рад);

• начальная фаза — аргумент периодической функции, определяющий значение физической величины в начальный момент времени (t = 0). Обозначается буквой φ₀, измеряется в радианах (рад).

Эти величины связаны между собой следующими соотношениями:

T=tN,   ν=1T=Nt,

ω=2π⋅ν=2πT,  φ=ω⋅t+φ0.

Гармонические колебания

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата (смещение) тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса и описывается формулами:

x=A⋅sin(ω⋅t+φ0) или x=A⋅cos(ω⋅t+φ0).

Зависимость координаты от времени x(t) называется кинематическим законом гармонического колебания (законом движения).

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

Пусть тело совершает гармонические колебания по закону x=A⋅cosω⋅t (φ₀ = 0). На рисунке 2, а представлен график зависимости координатыx от времени t.

• 

а

 

• 

б

• 

в

Рис. 2

Выясним, как изменяется проекция скорости колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от закона движения:

υx=x′=(A⋅cosω⋅t)′=−ω⋅A⋅sinω⋅t=ω⋅A⋅cos(ω⋅t+π2),

где ω⋅A=υxmax — амплитуда проекции скорости на ось x.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось x изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на π/2 (рис. 2, б).

Для выяснения зависимости ускорения a_x(t) найдем производную по времени от проекции скорости:

ax=υ′x=x′′=(A⋅cosω⋅t)′′=(−ω⋅A⋅sinω⋅t)′= =−ω2⋅A⋅cosω⋅t=ω2⋅A⋅cos(ω⋅t+π), (1)

где ω2⋅A=axmax — амплитуда проекции ускорения на ось x.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на π (рис. 2, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей x(t), υ_x(t) и a_x(t), если x=A⋅sinω⋅t (φ₀ = 0).

Учитывая, что A⋅cosω⋅t=x, из уравнения (1) для ускорения можно записать

ax=−ω2⋅x,

т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, ускорение направлено в сторону, противоположную смещению. Данное соотношение можно переписать в виде

ax+ω2⋅x=0.

Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний — уравнением гармонического осциллятора.