Вопрос 40. Колебания и характеризующие их величины. Собственные колебания. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия; колебания, которые совершаются за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Вынужденные колебания – это колебания которые происходят под действием внешней периодически изменяющийся силы.

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний колебательной величины s: s=Acos(ω₀t+φ) или s=Asin(ω₀t+φ), где A – амплитуда колебаний, ω₀ – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебаний в момент времени t=0, (ω₀t+φ) – фаза колебаний в момент времени t.

Период гармонического колебания – промежуток времени T, в течение которого фаза колебания получает приращение 2π, т.е. ω₀(t+T)+φ=(ω₀t+φ)+2π. T=2π/ω₀.

Период колебаний - наименьший промежуток времени, по истечении которого система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный произвольно выбранный момент. T=t/N=1/v=2π/ω.

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. ν=1/T=N/t= ω/2π.

Циклическая частота ω(рад/с) – число колебаний за 2π с. ω= 2πv= 2π/T.

Амплитуда колебаний – это максимальное значение колеблющейся величины.

Фаза колебаний – это значение колеблющейся величины в произвольный момент времени (ω₀t+φ). Проекции скорости и ускорения колебательной точки: . Свободные колебания в замкнутой консервативной системе называются собственными колебаниями(отсутствие силы сопротивления и трения). Наиболее простым случаем является случай, когда возвращаемая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия, гдек- коэффициент квази.

Вопрос 41. Гармоническое колебательное движение. Общий признак колебаний. Дифференц уравнение гармонических колебаний. Энергия гармонич колеб.

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний колебательной величины s: s=Acos(ω₀t+φ) или s=Asin(ω₀t+φ), где A – амплитуда колебаний, ω₀ – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебаний в момент времени t=0, (ω₀t+φ) – фаза колебаний в момент времени t. Рассмотрим уравнение, описывающее колебания, совершаемые системой в отсутствие сил трения ..Итак, смещениеX изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение механической системы, находящейся под действием квазиупругой силы, представляет собой гармоническое движение.

Таким образом мы убедились в том, что под действием квазиупругой силы при малых отклонениях от положения равновесия, частица будет совершать гармонические колебания. На рисунке приведена зависимость смещения частицы от времени. По горизонтальной оси отложено времяt, по вертикальной - смещение x. Так как косинус изменяется от -1 до +1, значения x лежат в пределах от -x0 до +x0. Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда x0 - постоянная положительная величина. Величина, стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постояннаяa представляет собой значение фазы в момент t=0 и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени.

Поскольку косинус - периодическая функция с периодом 2π, различные состояния частицы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени T, за который фаза колебания получает приращение. Этот промежуток времени называется периодом колебания. . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний. Очевидно, что частота связана с периодом колебаний соотношением

. Из определения периода следует, что . Величину называют круговой или циклической частотой. Так как она зависит от свойств самой колеблющейся системы, то ее часто называют собственной частотой системы.- однородное дифференциальное уравнение 2 ого порядка,решением которого является функция вида..

Энергия гармонических колебаний.

Величина полной энергии колеблющейся системы в любой момент времени равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии, илиУчитывая, чтои, подставив выражения дляX и, получим.

Т

о есть полная энергия системы, совершающей колебания, пропорциональна ее массе, квадрату амплитуды и квадрату собственной частоты. Так как силы, действующие на колеблющуюся частицу являются консервативными, то ее механическая энергия остается постоянной . В процессе же колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Н а рисунке приведен график зависимости потенциальной энергии от координаты частицы. С ростом x уменьшается кинетическая энергия и увеличивается потенциальная. Максимального значения потенциальная энергия достигает в поворотных точках, при этом кинетическая энергия равна нулю. Среднее за период значение кинетической энергии равно среднему за период значению потенциальной энергии.