1. Пространство и время. Механическое движение. Система отсчёта.

Механическое движение– это изменение с течением времени взаимного расположения тел и их частей.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчёта. В декартовой системе координат положение данной точки в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатамиx,y,zили радиус-векторомr,проведённым из начала системы координат в данную точку. При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются. В общем случае её движение определяется скалярными уравнениями,

x=x(t);

y=y(t); (1.1.)

z=z(t).

эквивалентными векторному уравнению r=r(t).(1.2.)

2. Кинематические уравнения движения материальной точки. Перемещение, скорость, ускорение.

Уравнения (1.1.) (соответственно (1.2.)) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называетсячислом степеней свободы.

Вектор перемещения– вектор проведённый из начального положения движущейся точки в положение её в данный момент времени (приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени).

Скорость– векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Первая производная перемещения по времени.

Вектором средней скоростиназывается отношение приращения радиус-вектора точки к промежутку времени. <υ>=Δr/Δt.

Мгновенная скорость– это векторная величина, определяемая производной радиус-вектора движущейся точки по времени. υ=lim_Δt→0Δr/Δt.

Мгновенная скорость– векторная величина, определяемая производной радиус-вектора движущейся точки по времени. υ=dr/dt.

Ускорение– это характеристика неравномерного движения; определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Вторая производная перемещения по времени.

Среднее ускорение неравномерного движенияза промежуток времени – это векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло. <a>=Δυ/Δt.

Мгновенным ускорениемматериальной точки в момент времениtбудет предел среднего ускорения.a=dυ/dt.

Тангенциальная составляющая ускоренияхарактеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории.)a_τ=dυ/dt.

Нормальная составляющая ускоренияхарактеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).a_n=υ²/r.

3. Угловая скорость. Угловое ускорение.

Угловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту вращения тела; отношение угла поворота ко времени, за которое этот поворот произошёл; вектор, определяемый первой производной угла поворота тела по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. ω=φ/t=2π/T=2πn, гдеT– период вращения,n– частота вращения. ω=lim_Δt→0Δφ/Δt=dφ/dt.

Угловое ускорение– вектор, определяемый первой производной угловой скорости по времени. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. Вторая производная угла поворота по времени. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору φ, при замедленном – противонаправлен ему. ε=dω/dt.

4. Принцип инерции (Первый закон Ньютона). Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности.

Первый закон Ньютона (закон инерции): всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции.

Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчёта.

Инерциальная система отсчёта– это система отсчёта, относительно которой свободная материальная точка неподверженная воздействию других тел, движется равномерно прямолинейно; это такая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

Принцип относительности- фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояния движения или покоя определяются по отношению к произвольно выбранной инерциальной системе отсчета. Принцип относительности лежит в основе специальной теории относительности Эйнштейна.

Принцип относительности (Галилея): никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведённые внутри данной инерциальной системы отсчёта, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

5. Преобразования Галилея.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x,y,z), которую условно будем считать неподвижной и систему К’ (с координатамиx’,y’,z’), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростьюU(U=const). Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах.r=r’+r₀=r’+Ut. (5.1.)

Уравнение (5.1.) можно записать в проекциях на оси координат:

x=x’+U_xt;

y=y’+U_yt; (5.2.)

z=z’+U_zt;

Уравнение (5.1.) и (5.2.) носят название преобразований координат Галилея.

6. Масса. Импульс. Сила. Второй закон Ньютона.

Масса тела – физическая величина, являющаяся мерой его инерционных (инертная масса) и гравитационных (гравитационная масса) свойств. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу.

Сила– векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Импульсматериальной точки – векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости; количество движения.p=mυ.

Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).a=F/mилиF=ma=mdυ/dt.

Более общая формулировка закона Ньютона– скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.F=dp/dt.

7. Понятие состояния в классической механике. Уравнение движения материальной точки.

Основной закон динамики материальной точки (второй закон Ньютона) выражает принцип причинности в классической механике, так как устанавливает однозначную связь между изменением с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной точки и действующей на нее силой. Этот закон позволяет, зная начальное состояние материальной точки (ее координаты и скорость в какой – либо начальный момент времени) и действующую на нее силу, рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.

Уравнение движения материальной точки.

Сила – производная импульса по времени. F=dp/dt.

Более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Это выражение называется уравнением движения материальной точки.

8. Взаимодействия и силы.

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил:если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под силой во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Виды сил:

Гравитационные силы, электромагнитные силы, силы инерции, ядерные силы, силы межмолекулярного взаимодействия.

9. Силы инерции. Принцип эквивалентности.

В неинерциальных системах отсчёта законы неинерциальных системах отсчёта законы Ньютона не выполняются. Основной закон динамики материальной точки в неинерциальных системах отсчёта можно получить исходя из второго закона Ньютона и связи между абсолютным и относительным ускорениями материальной точки. Следовательно, основное уравнение динамикиотносительного движения материальной точкиимеет вид

ma_r=F-ma_e-ma_K. Его можно привести к видуma_r=F+I_e+I_K. Векторные величиныI_e=-ma_eи

I_K=-ma_Kимеют размерность силы и называются соответственнопереносной силой инерции и кориолисовой силой инерции I_e=-(mdυ₀)/dt-m[dΩr/dt]-m[Ω[Ωr]].

Последний член правой части этого выражения называется центробежной силой инерции. Модуль центробежной силыI_цб=mΩ²ρ, где ρ – расстояние от материальной точки массыmдо мгновенной оси вращения системы отсчёта иΩ– вектор направления мгновенной оси вращения неинерциальной системы отсчёта.

Кориолисова сила инерции: I_K=2m[υ_rΩ].

Силы инерции реально действуют на материальную точку в неинерциальной системе отсчёта и могут быть в ней измерены.

Принцип эквивалентности– гравитационное поле в ограниченной области пространства физически эквивалентно «полю сил инерции» в соответствующим образом выбранной неинерциальной системы отсчёты.

10. Момент импульса. Момент силы. Уравнение моментов.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки– физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора проведённого из неподвижной точки в точку приложения силы, на силу.L=[rp]=[rmυ], гдеp– импульс материальной точки,L– псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении.

Модуль вектора момента импульса L=rpsinα=mυrsinα=pl, где α – угол между векторамиrиp,l– плечо вектораpотносительно неподвижной точки.

Соответственно, моментом силы относительно неподвижной точкиназывается физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора, проведённым из неподвижной точки в точку приложения силы, на эту силу.M=[rF], гдеM– псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отrкF.

Модуль момента силы M=Frsinα=Fl, где α – угол междуFиr,rsinα=l– кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой приложения силы –плечо силы.

Моментом импульса механической системы относительно осиназывается проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси.

Соответственно, моментом силы относительно осиназывается проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, выбранной на данной оси.

Момент силы относитеьно неподвижной оси – скалярная величина, численно равная проекции на эту ось вектора момента силы, определённого относительно произвольной точки данной оси.M_z=[rF]_z.

Значение момента силы не зависит от выбора положения точки на оси.

Моментом импульса механической системы относительно неподвижной точкиназывается вектор, равный геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы.

Главным моментом внешних силотносительно неподвижной точки называется вектор, равный геометрической сумме моментов относительно неподвижной точки всех внешних сил, действующих на неподвижную систему.

Момент силы равен нулю, если эта сила является центральной.

Уравнение моментов– производная по времени от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему.dL/dt=M.

11. Работа силы. Мощность.

Работа силы, момент силы и мощность являются дополнительными характеристиками силы.

Энергия– универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Работа силы– количественная характеристика процесса обмена энергии между взаимодействующими телами. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, которая составляет некоторый угол с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы (сила на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения) на направление перемещения. Умноженной на перемещение точки приложения силы. Работа - величина скалярная.

A=F_SS=FScosα.

Элементарной работойсилы на малом перемещении точки приложения силы называется скалярное произведение силы на это перемещение.

dA=Fdr=FcosαdS=F_SdS, где α – угол между векторамиFиdr;dS=|dr| - элементарный путь;F_S– проекция вектораFна векторdr.

Работа силы равна нулю, если вектор силы перпендикулярен вектору перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой на пути S.

Мощность– физическая величина, характеризующая скорость совершения работы.N=A/t

Средняя мощность– отношение совершённой работы за промежуток времени к этому промежутку.<N>=ΔA/Δt.

Мгновенная мощностьравна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; первая производная работы по времени.

N=dA/dt, N=F_Sυ=Fυcosα.

12. Кинетическая энергия. Связь работы с изменением кинетической энергии.

Кинетической энергией механической системыназывается энергия механического движения этой системы.

Кинетическая энергия тела массойm, движущегося со скоростью υ, определяется работой, которую надо совершить, чтобы сообщить телу данную скорость.E_k=mυ²/2.

Теорема о кинетической энергии– работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела. Приращение кинетической энергии частицы на элементарном перемещении равно элементарной работе на том же перемещении. Приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно работе всех сил, действующих на частицу на том же перемещении.

Кинетическая энергия системыесть функция состояния её механического движения.

Теорема Кёнинга – кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы и её движении относительно системы центра масс и кинетической энергии, которая имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью её центра масс.

13. Потенциальные и непотенциальные силы. Потенциальная энергия.

Потенциальные силы -силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий, ни от закона движения этих точек.

Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (непотенциальной); примером является сила трения.

Потенциальная энергия– энергия частиц во внешнем потенциальном поле.

Потенциальная энергия– механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной. Это не отражается на физических законах, так как в них входят или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная потенциальной энергии по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определённом положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчёта), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

14. Связь потенциальной силы с градиентом потенциальной энергии.

Рассмотрим простейшую механическую систему, состоящую из одной материальной точки, на которую действует потенциальная сила.

δA= - [dW_п– (∂W_пdt)/∂t]. (14.1.)

Из (14.1.) следует, что

δA=Fdr= - [(∂W_пdx)/∂x+(∂W_пdy)/∂y+(∂W_пdz)/∂z].

Так как координаты x,y,z– независимые переменные, то в последнем уравнении должны быть попарно равны слева и справа коэффициенты приdx,dy,dz. Таким образом, связь между потенциальной энергией материальной точки соответствующей ей потенциальной силой имеет вид

F_x= - ∂W_п/∂x;F_y= - ∂W_п/∂y;F_z= - ∂W_п/∂z;

или

F= - [(∂W_пi)/∂x+(∂W_пj)/∂y+(∂W_пk)/∂z]. (14.2.)

Вектор, стоящий в (14.2.) справа в квадратных скобках и построенный с помощью скалярной функции W_п, называетсяградиентом функции и обозначаетсяgradW_п.

Итак, сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки в рассматриваемом поле:

F= -gradW_п.

15. Механическая энергия частицы. Диссипация энергии.

Закон сохранения механической энергии– механическая энергия остаётся неизменной при любых движениях частицы в поле сил, в котором она находится, равна сумме работ внешних и диссипативных сил, действующих на частицу.E=E_k+E_p=const=∑A_вн+∑A_дис.

Диссипативные системы– системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счёт преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил названиедиссипации(илирассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

16. Динамика системы частиц. Концепции взаимодействия.

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называютсявнутренними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называетсязамкнутой(илиизолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Существуют две основных концепций взаимодействия частиц в системе: концепция дальнодействия(эта концепция предполагает, что взаимодействие между частицами происходит мгновенно и без посредников; эта концепция близка к достоверности только в случае, когда размеры частиц соизмеримы с расстояниями между ними; концепция была предложена Ньютоном);концепция близкодействия(эта концепция предполагает, что взаимодействие между частицами налюбыхрасстояниях происходит через определённый промежуток времени при помощи посредников; эта концепция была предложена в более позднее время). В ряде случаев для упрощения решения задач можно использовать концепцию дальнодействия (при скоростях посредника много больших скоростей частиц)

17. Уравнения движения системы частиц.

Для упрощения решения задач разбиваем систему частиц на систему отдельных частиц, независящих друг от друга. Затем рассматриваем уравнения движения частиц как сумму уравнений движения отдельных частиц и сумму сил взаимодействия между ними.

Основной закон динамики материальной точки (второй закон Ньютона) выражает принцип причинности в классической механике, так как устанавливает однозначную связь между изменением с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной точки и действующей на нее силой. Этот закон позволяет, зная начальное состояние материальной точки (ее координаты и скорость в какой – либо начальный момент времени) и действующую на нее силу, рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.