21. Матричные уравнения. Теорема существования и единственности решения.
Рассмотрим матричное уравнение вида
|
(4.5) |
где 
и 
—
данные матрицы, имеющие одинаковое
количество строк, причем матрица 
квадратная.
Требуется найти матрицу 
,
удовлетворяющую уравнению (4.5).
Теорема
4.2 о существовании и единственности
решения матричного уравнения (4.5). Если
определитель матрицы 
отличен
от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет
единственное решение
.
В
самом деле, подставляя 
в
левую часть равенства (4.5), получаем
,
т.е. правую часть этого равенства.
Заметим,
что решением матричного уравнения 
служит
обратная матрица
.
Рассмотрим также матричное уравнение вида
|
(4.6) |
где 
и 
—
данные матрицы, имеющие одинаковое
количество столбцов, причем
матрица 
квадратная.
Требуется найти матрицу 
,
удовлетворяющую уравнению (4.6).
Теорема
4.3 о существовании и единственности
решения матричного уравнения (4.6). Если
определитель матрицы 
отличен
от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное
решение
.
Заметим,
что матрица 
является
как бы "левым" частным от "деления"
матрицы
на
матрицу
,
поскольку матрица
в
(4.5) умножается на
слева,
а матрица
—
"правым" частным, так как матрица
в
(4.6) умножается на
справа.
Пример 4.5. Даны матрицы
Решить
уравнения: а) 
;
б)
;
в)
.
Решение. Обратная
матрица 
была
найдена в примере 4.2.
а)
Решение уравнения 
находим,
умножая обе его части слева на
б)
Уравнение не имеет решений, так как
матрицы 
и
имеют
разное количество столбцов
.
в)
Решение уравнения 
находим,
умножая обе его части справа на
Пример
4.6. Решить
уравнение: 
,
где
.
Решение. Преобразуя левую часть уравнения:
приведем его к виду (4.1)
где
Следовательно, 
.
Обратная матрица найдена в примере 4.2:
Значит, 
Пример
4.7. Решить
уравнение 
,
где
Решение. Обратные
матрицы
были
найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно.
Решение уравнения находим по формуле
Пример
4.8. Решить
уравнение 
,
где
Решение. Определитель
матрицы 
равен
нулю, следовательно, обратная матрица
не существует. Поэтому нельзя использовать
формулу
.
Будем искать элементы матрицы
.
Подставляя в уравнение, получаем
Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:
Здесь,
учитывая пропорциональность уравнений,
в системе оставлены только два уравнения
из четырех. Выразим неизвестные 
и
Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид
где
параметры 
и 
могут
принимать любые значения. Таким образом,
данное матричное уравнение имеет
бесконечное множество решений.
22. Решение системы линейных уравнений матричным методом. Правило Крамера.
|
Рассмотрим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно,
что |
- матрица
системы
-
матрицы-столбцы неизвестных и свободных
членов.
,
|
тогда АХ=С Такое равенство называется матричным уравнением.
Если
матрица А системы невырожденная,
(det А Умножим обе его части на матрицу А-1, обратную матрице А А-1(АХ)=А-1С или, (А-1А) · Х = А-1·С. но так как А-1А=Е, и ЕХ=Х Х=А-1С Например, решим матричным способом систему |
0),
то это уравнение решается следующим
образом:
|
|
|
|
матрица
системы
|
Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: А =1·[-1·4 – 1·2] – 1·[2·4 – 2·4] + 2·[2·1 – 4·(-1)] = -6 + 12 = 6 Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица А11 = (-1)1+1·М11 = (+1)·[-1·4 – 1·2] = -6 А12 = (-1)1+2·М12 = (-1)·[2·4 – 2·4] = 0 А13 = (-1)1+3·М13 = (+1)·[2·1 – 4·(-1)] = 6 А21 = (-1)2+1·М21 = (-1)·[1·4 – 1·2] = -2 А22 = (-1)2+2·М22 = [1·4 – 2·4] = -4 А23 = (-1)2+3·М23 = (-1)·[1·1 – 4·1] = 3 А31 = (-1)3+1М31 = [1·2 – (-1)·2] = 4 А32 = (-1)3+2·М32 = [(-1)·1·2 – 2·2] = 2 А33 = (-1)3+3·М33 = [1·(-1) – 2·1] = -3 |
|
|
|
|
|
|
Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.
Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе |
|
Решение систем уравнений методом Крамера Применим теперь наши знания о матрицах к решению систем уравнений первой степени. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными: |
|
|
или
коротко |
или
АХ=С
|
система записана в матричном виде (как произведение матриц) Решим эту простенькую систему школьными методами. Умножим первое уравнение на а22, а второе на (-а12) и сложим (а11а22 – а21а12)х1 = с1а22 – с2а12 аналогично (а11а22 – а21а12)х2 = с2а11 – с1а21 |
|
1)
но а11а22 –
а21а12 = |
|
2) определитель, который получится из det А, если в нем столбец коэффициентов при х1 (первый столбец) заменить на столбец правых частей. Обозначим его Х1 |
|
3) |
-
это определитель матрицы А(det А)
или его еще называют определитель
системы и он составлен из коэффициентов
при неизвестных. Обозначим его 
|
|
Видим,
что |
|
Как вы понимаете, если мы возьмем систему трех уравнений с тремя неизвестными или n уравнений с n неизвестными, то формулы останутся те же:
|
<=""
font="">
|
Эти формулы широко известны и называются формулами Крамера. Мы же с Вами займемся анализом того существует ли решение и единственно ли оно? Возможны 3 случая:
1.
2. =0 ,
а какой-либо из xi 3. =0 и все xi=0 то система имеет бесконечно много решений. Пример: |
0
Тогда xi= xi/ -
решение существует, причем единственное.
0 ,
то есть у нас в xi= xi/ производится
деление на 0, система не имеет решения
(несовместна).
|
|
|
|
|
Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то наша система равносильна такой системе. |
|
|
|
Так получилось, потому что первое и второе уравнения систем эквивалентны и фактически мы имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными, то есть неопределенную систему. Она имеет бесчисленное множество решений. Положив, например, z=0 получим систему |
|
|
|
Решив ее, найдем 11х=0, х=0, y=1 То есть решение первоначальной системы x=0, y=0, z=0. Если бы мы положили z=1, получили бы еще один ответ и так далее. |
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – наA21 и 3-е – на A31:
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
.
Далее рассмотрим коэффициенты при x2:
Аналогично
можно показать, что и 
.
Наконец
несложно заметить, что 
Таким
образом, получаем равенство: 
.
Следовательно, 
.
Аналогично
выводятся равенства 
и 
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.