80. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Примеры. 3°. Если m = -, n = - - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

Примеры. 4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки при этом Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом

Примеры. Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку Подынтегральная функция не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx) . Применим подстановку tgx = t:

81. Интегрирование иррациональностей вида…

1. ,

где R  –  рациональная функция своих аргументов,

p_i, q_i –  целые числа.

Подстановка x = t^q, где q –  общий знаменатель всех дробей , рационализирует подинтегральную функцию.

82. Интегрирование иррациональностей вида…

. 

  Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Примеры решения задач курс лекций Первообразная функция Интегральное исчисление.

Пример. Функция указанного в интеграле вида представлена ниже

=Дифуры Математика лекции примеры решения задач

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей ,…,. В рассмотренном выше примере m=18.

83. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Теорема о среднем.

Определение

Пусть определена на. Разобьёмна части с несколькими произвольными точками. Тогда говорят, что произведено разбиениеотрезкаДалее выберем произвольную точку,,

Определённым интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиенияи выбора точек, то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой напо Риману.

Свойства определенных интегралов

         Ниже перечислены основные свойства определенного интеграла.

         1. ;

         2. если, то;

         3. ;

         4. ;

         5. ;

         6. если, то.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямымиии графиком функции.

Первая теорема о среднем

         Теорема. Пусть

1.     f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b];

2.     существуют такие конечные m и M, что ;

3.     .

Тогда существует  такое, что

1. ;

2. .

         Следствие. Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует такое c[a, b], что

.

         Частный случай. Пусть g(x) = 1 и f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда существует такое c[a, b], что

.

Рис. 5.3 Геометрическая интерпретация первой теоремы о среднем

         Геометрически это означает, что существует c[a, b], такое,  что площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком кривой f(x) и отрезком [a, b] равна площади прямоугольника с основанием [a, b] и высотой, равной f(с).