77. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Классы функций, интегрируемых по частям.

Пусть u(x), v(x) –    функции, имеющие непрерывные производные.

Тогда . Используя свойства 2 и 5 неопределённого интеграла, интегрируем последнее равенство:

. (3)

(3) –  формула интегрирования по частям.

Замечание 1. Разбивая подынтегральное выражение на множители u, dv, необходимо придерживаться двух правил:

1. интегрирование дифференциала не должно представлять трудностей;

2. применение формулы должно привести к упрощению подынтегральной функции (приблизить её к табличному виду).

Примеры.

1.

обозначим , ,

найдём , ,

составляем формулу .

 

Попробуем обозначить:

, ,

, –такого табличного интеграла

нет , и, значит, этот вариант не годится.

2.

, ,

,

.

Интеграл упростился. Ещё раз применяем формулу (3).

x = u, cos x dx = dv,

du = dx, ,

.

Последний интеграл табличный. Записываем первообразную полностью: .

Попробуем обозначить:

sin x = u, x2dx = dv,

du = cosx dx, ,

.

Степень повысилась, функция не упростилась. Значит, этот вариант не годится.

3.

подстановка , x = t2, dx = 2t dt,

интегрируем по частям: t =u, du = dt, sin t dt = dv,

Замечание 2. Если аргументы функции и дифференциала не совпадают, то лучше предварительно упростить подынтегральное выражение.

Примеры.

.

4.

замена x3 = t, 3x2dx = dt

 

интегрирование по частям: t = u, du = dt, ,

.

Замечание 3. Выделим некоторые классы функций, интегрируемых по частям. Это интегралы типа , где(в частности, степенная функцияxⁿ),   f (x) = e^ax, sin ax, cos ax, ln x, arctg x, arcsin x,..., причём в большинстве случаев легко интегрируемые выражения: sin x dx, cos xdx, e^xdx обозначают dv, а множитель при них P (x) = u и наоборот, если  f (x) = ln x, arcsin x, arctg x, её обозначают u (x), а оставшуюся часть подынтегрального выражения –  за dv.

Замечание 4. а) Интегралы,называютсяциклическими, так как в процессе применения формулы (3) подынтегральная функция принимает первоначальный вид. Применим к первому из них формулу (3).

Обозначим:

, ,

 

,

 .

. (4)

б) По такому же принципу можно найти интеграл типа , где целое числоk > 1 .

Обозначим dv = dx, ,

,

.

Последний интеграл преобразуем в сумму интегралов:

.

В итоге имеем:

.

Получаем формулу, понижающую порядок k:

. (5)

Формула (5)  является так называемой  рекуррентной формулой, в которой последующий интеграл вычисляется через предыдущий.

Например, найти .

Применим (5), положив k = 1, k + 1 =2, a = 3:

.

Последний интеграл табличный: .

.

Проверим результат дифференцированием:

 .

78. Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на сумму простейших.

Рациональной дробью называется функция

где— заданные коэффициенты, Рациональная дробь называется правильной, если m< n, неправильной, если

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Действительно, пусть— неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим k < n, гдеи остаток— многочлены,

а— правильная рациональная дробь.

Пример:

Таким образом,— остаток.

Первый из этих интегралов легко вычисляется. Для того чтобы вычислить второй интеграл, надо подынтегральную функцию представить в виде суммы так называемых простейших рациональных дробей, а затем их проинтегрировать. Для этого рассмотрим простейшие рациональные дроби.

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде (множителей вида может быть несколько), где — заданные числа

 трехчленне имеет действительных корней.

Тогдапредставляется в виде суммы простейших дробей

1—3 типов:

 

где— неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя кДоказательство представлено в [3. С.354].

Примеры:

1)

2)

3)

Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере.

Пример:

Поскольку(см. пример в

п. 16.1.1), то

Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших:

 (16.1)

Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1):

Второй метод — метод частных значений — заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя:

Окончательно имеем