Переход от общего уравнения прямой

Начнем с приведения общего уравнения прямой к каноническому уравнению прямой вида .

Если , то переносим слагаемое в правую часть равенства с противоположным знаком . В левой части равенства выносим А за скобки . Полученное равенство можно записать как пропорцию вида .

Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой только слагаемое , а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: . Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки и записываем полученное равенство в виде пропорции . Вот и все.

Запоминать полученные формулы не имеет смысла, проще повторять указанные действия при приведении общего уравнения прямой к каноническому виду.

Пример.

Приведите уравнение прямой к каноническому виду.

Решение.

Исходное неполное уравнение прямой перепишем как . Оставляем в левой части равенства только слагаемое : . В правой части равенства выносим -3 за скобки: . Осталось записать полученное равенство в виде пропорции и на этом приведение общего уравнения прямой к каноническому виду завершено.

Ответ:

11. Взаимное расположение прямых. Условия перпендикулярности, параллельности, пересечения прямых.

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке

Угол между пересекающимися прямыми определяется формулой

При этом под понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами,,,и) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если или, иперпендикулярны, если или.

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением можно выразить уравнениемПри этом расстояние между этими прямыми будет равно

Если знак перед радикалом противоположен тобудет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если и, то прямыеиперпендикулярны.

12. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

   Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

  

                                           рис.6.

     

                                           рис.7.

        

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением

                          ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                          

или параметрическими уравнениями

                              ,   ,

в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,  –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке,координаты которой  можно найти из системы уравнений

             ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что вектроры  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости. Теорема доказана.