[Править]Виды асимптот графиков [править]Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

[Править]Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

[Править]Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , и из выше указанных замечаний следует, что

1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну вертикальную асимптоту, или одну наклонную и одну вертикальную, или две наклонных, или две вертикальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

График функции с двумя горизонтальными асимптотами

[Править]Нахождение асимптот

[править]Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение вертикальных асимптот.

2. Нахождение двух пределов 

3. Нахождение двух пределов :

если в п. 2.), то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .

[править]Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При   ,,   то есть:

,

и является искомым уравнением асимптоты.

75. первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

П.2. Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.

Пусть . Тогда. Здесьt(x) - дифференцируемая монотонная функция. Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что. Заменим независимую переменнуюt на функцию t = t(x): . Следовательно, функцияF(t(x)) является первообразной для произведения , или.

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.  1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, иf(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителяпод знак дифференциала:, и задача сводится к вычислению интеграла. Например,(задача сведена к вычислению, гдеt = cos x) (аналогично находится интеграл от);(задача сведена к вычислению, гдеt = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз:(самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg⁴ x²) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x² и x² по своим аргументам) 

.

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку)t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате(возвращаемся к исходной переменной). Другие примеры:. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:=.Рассмотрим(интеграл №19 изтабл. 10.3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или,):. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающиеичерез косинус двойного угла:.Поэтому.Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20Таблицы 10.3.неопределённых интегралов:  17. .

15. 

.

20. 

. Второй интеграл элементарно сводится к первому: .