70. Монотонность функции. Условия монотонности.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения

Пусть дана функция Тогда

• функция называетсявозраста́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го возраста́ющей на , если

.

• функция называетсяубыва́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го убыва́ющей на , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.

• Монотонная функция, определённая назамкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.

• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

• Монотонная функция дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна наи имеет в каждой точкепроизводную Тогда

 не убывает на тогда и только тогда, когда

 не возрастает на тогда и только тогда, когда

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна наи имеет в каждой точкепроизводнуюТогда

если тострого возрастает на

если тострого убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотнона интервале Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производнаяТогдастрого возрастает на интервалетогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. 

2. 

Аналогично, строго убывает на интервалетогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. 

2. 

71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Вматематическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция и— внутренняя точка области определенияТогда

•  называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестностьтакая, что

•  называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестностьтакая, что

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

•  называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

•  называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция определённая на множествеможет не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции, определенной в некоторой окрестности точки.

Тогда либо производная не существует, либо.

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)