63. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.

Функция вида y = [u(x)]^v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Пример. Найти производную функции y = (sinx)^x

Логарифмируем функцию по основанию е:lny = x lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х, получаем

,

отсюда или.

Рассмотренный прием называется логарифмическим дифференцированием. Он применяется не только для вычисления производных степенно-показательных функций, но и в случаях, когда аналитическое выражение функции содержит несколько множителей.

Пример. Найти производную функции . Логарифмируя, получаем. Дифференцируем обе части полученного равенства:

, отсюда или.

Если требуется найти производную функции, представляющей собой произведение нескольких сомножителей, или дробь, числитель и знаменатель которой содержат по несколько сомножителей, то представляется выгодным предварительно обе части данной функции прологарифмировать по основанию, а затем уже приступить к дифференцированию. Напомним основные правила логарифмирования:

1. . 2. .

3. . 4. , где n = const.

О п р е д е л е н и е. Логарифмической производной функции y = f (x) называется производная от логарифма этой функции

.

Пример 1. .

Решение. Прологарифмируем функцию

;

;

. Найдем :

.

Пример 2. .

Решение. Прологарифмируем функцию

;

;

;

.

5.4. Производная степенно-показательной функции

Будем называть функцию вида степенно-показательной. Производная от этой функции в общем виде имеет вид

,

т.е. производная степенно-показательной функции равна сумме производных этой функции как от степенной, а затем как от показательной.

Однако для нахождения производных степенно-показательной функции можно применить прием логарифмического дифференцирования, который позволяет легко и быстро найти производную.

Пусть . Прологарифмируем обе части:

.

Найдем производную обеих частей этого равенства:

.

Тогда

.              (5.11)

Пример 1. y = x^x, ( x > 0 ).

Решение. Прологарифмируем ln y = x ln x. Тогда

.

Пример 2. .

Решение:  ln y = cos x ln sin x;

;

.

Пример 3. .

Решение: ;

;

.

64. См. Отдельный файл.

65. Теоремы о среднем – Ферма, Ролля.

Теорема 17.1 (Теорема Ферма)

Если функция имеет производную и в точкеимеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.

Доказательство

Пусть - точка минимума. Тогда при. Значение выражения. Значит,. Рассмотрим теперь, при этом также, и выражение. Значит, правая производная. По теореме14.5 . Из ранее доказанного следует:. Теорема доказана.

 

Геометрический смысл теоремы Ферма Существует такая точка , в которой касательная параллельна осиOx.  Замечания В точке экстремума может не быть производной. Пример: ,- точка минимума, но.

2. Равность нулю производной - необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. То есть производная может быть равной 0 и вне точки экстремума. Пример: , но точка 0 - не экстремум.

 

Теорема 17.2 (Теорема Ролля)

Пусть:

1. Функция непрерывна на отрезке:;

2. Для любого x из интервала существует производная:;

3. Значения функции на концах отрезка равны: .

Тогда существует такое , что производная.

Доказательство

1. Функция непрерывна существуют.

2. Если , то функцияявляется константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.

3. Если же , то оба значенияне могут достигаться в концевых точках, т.к.и. Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точкеc, и, по теореме Ферма 17.1 

Замечания:

1. Существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. рисунок к теореме Ферма).

2. Все условия теоремы Ролля существенны, т.е. нельзя отбростиь хотя бы одно из них.

Примеры:

1. Отбросим условие непрерывности. Рассмотрим функцию на отрезке. На интервалепроизводная всюду равна 1.

2. Отбросим условие дифференцируемости. Рассмотрим функцию . В точке, но 0 - точка минимума.

3. Отбросим условие равности функции на концах отрезка. Рассмотрим функцию на отрезке. При этом производная всюду на интервалеравна 1 .

 

Теорема 17.3 (Первое следствие теоремы Ролля)

Пусть:

1. Функция непрерывна на отрезке:;

2. Функция дифференцируема на интервале :;

3. Сужествуют такие, что.

Тогда такие, что.

Доказательство

Рассмотрим отрезок . Данный отрезок удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Тогда.

Применив теорему Ролля k раз, доказываем данное следствие.

 

Теорема 17.4 (Второе следствие теоремы Ролля)

Пусть:

1. Существует функция, имеющая n производных, непрерывных на отрезке :;

2. Для любого x из интервала существует n+1 производная:;

3. Значения .

Тогда существует такая точка .

Доказательство

1. По теореме Ролля для на отрезке.

2. Рассмотрим отрезок , на которомнепрерывна. Тогда существует производнаяна интервале. Так как. Значит, существует точкатакая, что. Рассмотрим отрезок, на которомнепрерывна. Значит,. Наn-ном шаге имеем: . Рассмотримна.

3. Функция непрерывна на , значит, она непрерывна и на:;

4. Для любого x из существуетn+1 производная: ;

5. Значения ее на концах равны: .

Данные 3 заключения удовлетворяют условию теоремы Ролля. Значит, .