59. Дифференциал функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала.

См. вопрос 57

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

60. Обратная функция и ее производная.

60. Обратная функция и ее производная.

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f^--1(x) имеет производную [f^--1(x)]', причем

 или 

Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f^--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх0. Тогда функция у = f^--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f^--1(x) непрерывна, то Δу0 при Δх0. Тогда .

Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале монотонной и дифференцируе­мой. Ее производнаяx' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом.

Аналогично получаются формулы

61. Правила дифференцирования.

1) Производная константы равна нулю, т.е , где C  – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е .                                            .

3) Производная произведения находится по правилу: .

4) , где - константа.

5) Производная дроби находится по правилу:.

 

6) Если функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке, то сложная функция имеет производную в точке , причем (правило дифференцирования сложной функции).

 

7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке, причем .  Если существует обратная функция , то она имеет производную в точкеи (производная обратной функции).

 

62. производные элементарных функций.

Функция y = f(x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f(kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y=xn	y=nxn−1	y=(kx+b)n	y=nk(kx+b)n−1
y = x	y=1	y=(kx+b)	y=k
y=x	y=12x	y=kx+b	y=k12kx+b
y=x1	y=−1x2	y=1kx+b	y=−k1(kx+b)2
y = cos x	y=−sinx	y = cos (kx +b)	y=−ksin(kx+b)
y = sin x	y=cosx	y = sin (kx +b)	y=kcos(kx+b)
y = tg x	y=1cos2x	y = tg (kx +b)	y=k1cos2(kx+b)
y = ctg x	y=−1sin2x	y = ctg (kx +b)	y=−k1sin2(kx+b)
y = arcsin x	y=11−x2	y = arcsin (kx +b)	y=k11−(kx+b)2
y = arccos x	y=−11−x2	y = arccos (kx +b)	y=−k11−(kx+b)2
y = arctg x	y=11+x2	y = arctg (kx +b)	y=k11+(kx+b)2
y = arcctg x	y=−11+x2	y = arcctg (kx +b)	y=−k11+(kx+b)2
y=axa0a=1	y=axlnaa0a=1	y=akx+ba0a=1	y=kakx+blnaa0a=1
y=ex	y=ex	y=ekx+b	y=kekx+b
y=logaxa0a=1	y=1xlna	y=loga(kx+b)a0a=1	y=k1(kx+b)lna
y = lnx	y=x1x0	y = ln(kx +b)	y=k1kx+bkx+b0