51. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Функции и называют бесконечно малыми при , если и 

Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если 

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .

52. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.

При вычислении пределов часто применяется следующая Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых (неопределенность ) равен пределу отношения двух других бесконечно малых, эквивалентных данным, т.е.

  

Отметим также: если , то.

 

3.2. Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.

Известна формула первого замечательного предела:

  

Используя это равенство, получим

  

  

  

Отсюда получаем первую группу формул эквивалентности бесконечно малых.

  При 

. (1)

Вторая группа формул связана с логарифмической функцией.

Имеем: 

Если при , то

Получаем вторую группу формул:

 (2) 

 

Третья группа формул связана с показательной функцией. Имеем:

Отсюда 

Тогда 

  

  

Итак, третья группа формул эквивалентности бесконечно малых

  , 

  , (3)

 

Четвертая группа формул связана со степенной функцией.

Имеем: 

  

  

  

Итак, четвертая группа формул эквивалентности бесконечно малых

, 

 

, 

 (4)

 

53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке.

Определение. Предела слева (справа)

Число А(В) по определению называется пределом функции f(x) в точке х₀ слева (справа), если

>0   >0 : x из x₀-<x<x₀ (x₀<x<x₀+)

               f(x)-A< (f(x)-B<),

при этом пишут:   

 

Пример.

 

Справедлив критерий 2 существования предела функции в точке.

Теорема.

Для того, чтобы у функции f(x) существовал предел при хх₀ необходимо и достаточно, чтобы существовал левосторонний предел в т. х₀, существовал правосторонний предел в т. х₀ и они были бы равны между собой.

 

Определение. Непрерывности функции слева (справа).

Функция f(x) определенная в левосторонней окрестности т. х₀ (или в правосторонней окрестности т.х₀)  и в самой точке х₀ называется непрерывной в т. х₀ слева (справа), если

       >0 >0 : x из x₀-<xx₀ (x₀x<x₀+)

           f(x)-f(x₀-0)< (f(x)-f(x₀+0)<)

При этом значения f(x₀-0) (f(x₀+0)) называют значениями функции в точке х₀ слева (справа).

 

Пример .

  f(-0)=0.

 

Теорема. Критерий непрерывности функции в точке.

Для того чтобы функция f(x) была непрерывной в т. х₀ необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева в т. х₀, справа в т. х₀ и при этом выполнялось соотношение :

                 f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀)

54. Точки разрыва функции и их классификация.

Определение. Разрывной функции в т. x₀.

Функция f(x) не являющаяся непрерывной в т. x₀ называется разрывной в т. x₀.

При этом точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва I рода и II рода.

 

Определение. Точка разрыва I рода.

Если у функции f(x)   и они конечны, то говорят, что точка x₀- точка разрыва первого рода.

При этом, если , то говорят, что точкаx₀- точка устранимого разрыва.

Если же , то говорят, что точкаx₀- точка разрыва с конечным скачком.

 

-разрывная функция. 

 

Если положить -  то произойдет устранение разрыва и функция станет непрерывной.

У функции так как

- имеется конечный скачок.

 

 

Определение. Точка разрыва II рода.

Если у функции f(x) хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то говорят, что т. х₀- точка разрыва II рода.

Пример

Если устремить х к 0 разными способами, то получим различные значения пределов:

,  kN,   x0 , а  ;

 kN, x0 , а   ,

значит функция f(x) не имеет предела â т. х₀=0, то есть т. х₀ точка разрыва II рода.