Леммы о бесконечно малых

Установим важные вспомогательные теоремы. Л.1: Алгебраическая сумма конечного числа б.м. при ха является б.м.

Пустьгде— б.м.

при ха. Тогда для любого числа, > 0 найдется (по определению б.м. и предела функции) такаяокрестность т. а, в которой

 Используя неравенство

 имеем

Отсюда по определению предела функции

Прежде чем сформулировать следующую лемму, дадим определение ограниченной функции.

О: Функцияназывается ограниченной в окрестности

т. а, если существует число М > 0, такое что< М в этой

окрестности

Отметим, что функцияимеющая предел при ха

 ограничена в окрестности т. а. Действительно, в

окрестности т. а используем определение предела функции, имеем

Обратное не верно, т.е. ограниченная функция может не иметь предела. Например,хотяНо для монотон-

ной последовательностиимеет место теорема.

Т: Ограниченная монотонно возрастающая (убывающая) последовательность

имеет предел. Доказательство см. в [10. С. 48].

Л.2: Произведение ограниченной в окрестности т. а функции на б.м. при ха является б.м.

Обозначимгдев окрестности т. а,

 Согласно определению предела функции для любого

числа> 0 найдетсяокрестность т. а, в которой Имеемоткуда по определению пре-

дела функции

Следствие. Произведение конечного числа б.м. при ха является б.м.

Следствие вытекает из леммы 2 и ограниченности функции, имеющей предел.

48. Критерий существования предела функции в точке.

См. Критерий Коши в вопросе 46

49. Бесконечно большие функции, связь с бесконечно малыми функциями.

Бесконечно большие функции.

Опр.4.4.8. Функция f(x) называется бесконечно большой при ха, если .

Обозначение: .

Опр.4.4.9. Функция f(x) называется положительной бесконечно большой при ха, если .

Опр.4.4.9. Функция f(x) называется отрицательной бесконечно большой при ха, если .

Такие же определения даются для случаев ха+0, ха-0, х+, х-.

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x.

Примеры.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая приx→+∞, т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и- бесконечно малые приx→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция жеявляется суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.