45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы ии докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . ТочкаH — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

 (1)

(где — площадь сектора)

(из :)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

Доказательства

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем 

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем 

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и.

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

 ;

Получаем: 

46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.

Ограниченность функции.

Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что

m ≤ f(x) ≤ M

при хє(a,b).

Число m_o= inf {f(x)} [x є (a,b)] = max m называется нижней гранью функции ,

а число M_o= sup {f(x)} [x є (a,b)]=min M называется верхней гранью функции на данном промежутке (a,b).

Разность M_o- m_o называется колебанием функции на промежутке (a,b).

Критерий Коши:

Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что

|f(x' ) - f(x" )| < ε,

как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).

47. Бесконечно малые функции, их свойства. Леммы

Функция α(х) называется бесконечно малой при   , если ,  

т. е. для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 

, 

выполняется неравенство 

 . 

 

Бесконечно малую функцию α(х) называют бесконечно малой величиной или просто  бесконечно малой.  

Функция f (х) называется ограниченной при , если существуют положительные числа М и δ, такие, что при условии  , выполняется неравенство   .  

 

Например, любая бесконечно малая α(х) является  ограниченной функцией при .  

В дальнейшем будем рассматривать  бесконечно малые при .  

Свойства бесконечно малых.  

1. Если функции и являются  бесконечно малыми, то функция также есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай  алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.  

2. Произведение ограниченной при  функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.  

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.  

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое  конечное число бесконечно малых.