44. Непрерывные функции и их свойства:

а) о сохранении знака непрерывной функции;

б) об арифметических действиях над непрерывными функциями;

в) о переходе к пределу под знаком непрерывной функции;

г) о непрерывности сложной функции.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Свойства Локальные

• Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

• Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

• Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

• Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

• Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

• Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

• Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Функция непрерывна, если предел совпадает со значением.

Теорема о сохранении знака для непрерывной функции

u = f(M) — непрерывна в точке M₀ и 

Существует окрестность точки M₀, в пределах которой знак f(M) совпадает со знаком f(M₀);

Доказательство

f(M₀) > 0;

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)g(x), f(x)g(x),  (частное - в случае, когда g(х0)0).

Док-во непосредственно следует из теор.4.4.10 раздела 4.4.6 "Арифметические действия с пределами". Для примера докажем непрерывность частного. Пусть f(x), g(x) непрерывны в точке х0, т.е. , , причём g(х0)0. По теор.4.4.10 существует , и этот предел равен , что означает непрерывность функции  в точке х0. Курс лекций по математике Уравнение плоскости Решение дифференциальных уравнений

Теор.5.2.2 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет , равный х0. Пусть точка  принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует, и .

Док-во. Возьмём 0. Так как f(x) непрерывна в точке х0, то 0, такое что  х- х0   f(x)- f(x0). Так как существует = х0, то для  0, такое что 0< t- t0 

  (t)- х0. Таким образом, для 0 мы нашли такое 0, что из 0< t- t0

  f(x)- f(x0)=  f( (t))- f(), что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция (t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=(t₀). Тогда функция f((t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f((t)) непрерывна в точке t₀. 

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=(t), то |(t)-(t₀)|< может быть записано как |x-x₀|<, и f(x) превращается в F((t));

б) при определении непрерывности (t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.