38.В отдельном файле.

39. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их свойства

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор X - соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением A x =  x .

Пусть A матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (A - E ) x = 0 , где E -  единичная матрица, а 0 - нулевой элемент пространства X. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (A - E ) x = 0 , которое существует тогда и только тогда, когда det (A - E ) = 0 . Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения det (A - E ) = 0 , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение det (A - E ) = 0  называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det (A - E )  характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве X, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве X; этот базис называютсобственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

40. Последовательность. Предел последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение

Пусть множество — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.

[Править]Примеры

• Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

• Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом этой последовательности является слово «май».

[Править]Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве определена -арная операция : Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества операция будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.