34. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.

Пусть в некотором базисе n-мерного векторного пространства заданы две линейно независимые системы векторов   и   то есть, они тоже являются базисами этого пространства.

Если - координаты вектора в базисе , то связь координат и задается системой линейных уравнений (об этом мы говорили в предыдущем пункте):   , которая в матричной форме может быть записана как

Аналогично для вектора мы можем записать

Действуя дальше аналогично, получим

Предыдущие матричные равенства можно объединить в одно, которое по сути задает связь векторов двух различных базисов

Аналогично мы можем выразить все векторы базиса через базис :

Определение.

Матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису , а матрицу - матрицей перехода от базиса к базису .

Из двух последних равенств видно, что   следовательно, матрицы перехода являются взаимно обратными.

Разберем пример.

Пример.

Найдите матрицу перехода от базиса к базису, а также укажите связь координат произвольного вектора x в этих базисах.

Решение.

Пусть T – матрица перехода от базиса к базису , тогда справедливо равенство   Умножив обе части этого равенства справа на   получим Найдем матрицу перехода, при этом не будем подробно останавливаться на нахождении обратной матрицы и умножении матриц (смотрите при необходимости статьи нахождение обратной матрицы и операции над матрицами):

Осталось выяснить связь координат вектора x в заданных базисах.

Пусть в базисе вектор x имеет координаты , тогда а в базисе вектор x имеет координаты , тогда Так как левые части последних двух равенств одинаковы, то мы можем приравнять правые части:  Если умножить обе части справа на то получимС другой стороны(найдите обратную матрицу самостоятельно). Два последних равенства дают нам искомую связь координат вектора x в базисах и .

Ответ:

матрица перехода от базиса к базису имеет вид ; координаты вектора x в базисах и связаны соотношениями или.

35. Евклидово пространство. Определение, примеры. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.

Определение. В линейном пространстве V задано скалярное произведение векторов, если имеется правило, по которому любым двум векторам исопоставляется число, удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

1. =;

2. =;

3. =+;

4. , если; и если, то

Из аксиом вытекают следующие свойства скалярного произведения:

1. =;

2. =+.

Определение. Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством. n-мерное евклидово пространство обозначается .

При вn-мерном пространстве можно определить скалярное умножение, т.е. можно превратить это пространство в евклидово.

Пример. Пространство , на котором задано скалярное произведение векторовиформулой

,

будет евклидовым. Выполнение аксиом очевидно.

 Из школьного курса известно, что для векторов из  справедливо равенство:

=, откуда.

Эти равенства подсказывают нам,  как  разумным способом определить в (n>3) понятие модуля вектора и угла между векторами.

Определение.  Для векторов в модуль  вектора икосинус угла между векторами иопределяется следующими формулами:

   .

Т.к. ,  то нам необходимо доказать, что,  или.

Это следует из следующего неравенства:

Неравенство Коши - Буняковского: Для любых двух векторов ивсправедливо неравенство.

Доказательство. Возьмем какое-нибудь число и составим вектор. ТогдаОбозначим,,, тогдаТак както дискриминант квадратного трехчленат.е.,. Заменяяна скалярные произведения, получаем,  что и требовалось доказать.

Следствие 1.  Для исправедливо соотношение

Следствие 2. Для исправедливонеравенство треугольника:

Доказательство. . Извлекаем корень из обеих частей неравенства, получаем