15. 1 И 2 зам.Пределы.

lim_x→0=1 Первый зам.предел. Используется при вычислении выражений с тригонометрич.ф-ми. Док-во: возьмем ед.окр-ть, обозначим радианную меру угла(МОВ) через х,пусть х(0,π/2).sinx, x, |BC|=tgx (С-т.пересечения продолжения луча ОМ и ┴о.х).S_∆MOB<S_{сектораMOB}<S_∆COB. Получаем: ½sinx<½x<½tgx. Разделим на ½sinx>0, получим:1<x/sinx<1/cosx, cosx<sinx/x<1, lim_x→0cosx=1, lim_x→01=1, (по т.о пределе пром.ф-и)

lim_x→0=1. Следствия: lim_x→0=1, lim_x→0=1, lim_x→0=1. lim_x→0=|y=arcsinx, x=siny, x→0,y→0|=lim_y→0y/siny=1

lim_x→0(1+x)^1/x=e Второй зам.предел Для последовательностей: lim_x→0(1+1/n)ⁿ=e.

15. Односторон. lim, односторон. непрер-ть.

Число А₁– предел ф-иf(x)слевав т. х₀,если для любого сколь угодно малого положительного ε найдется сколь угодно малое положительное число δ,что как только все х€(x₀-δ,x₀₎, то |f(x)-А₁|<ε. Записываютlim_х→хо-0f(x)=A₁. (на «языке последовательностей»,по Гейне) или короткоf(x₀-0)=A₁ (обозначение Дирихле).

Предел ф-и справа(lim_x→x0+0f(x)=A₂)

Пределы функции слева и справа - односторонние пределы. Если существует предел в точке(lim_х→хоf(x)=A), то существуют и оба односторонних предела(lim_х→хо-0f(x)=A₁,lim_х→хо+0f(x)=A₂),причем А=А₁=А₂.

Т1Для того, чтобыf(x) имела предел в т х₀=А необходимо и достаточная чтобы существовали односторонние пределыf(x) и они были=А. (lim_x→x0f(x)=A)↔(lim_x→x0-0 f(x)=lim_x→x0+0 f(x)=A)

Односторонняя непрерывность. Пусть f(x) опеределена в лев окр-ти т.х₀и включая и х₀и (f(x) [x₀-δ,x₀]).

Ф-я f(x)непрерывной в т.х₀ слева, если предел ф-и в этой т. слева равен значению ф-и в этой т.lim_x→x0-0f(x)=f(x₀)lim_x→x0-0f(x)=f(x₀). Пустьf(x) определена в правой окр-ти т. х₀и в самой т.х₀ (f(x), [x₀;x₀+δ])

Ф-я f(x)непрерывной в т.х₀ справа, если предел ф-и в этой т. справа равен значению ф-и в этой т.lim_x→x0+0f(x)=f(x₀).

Т2Для того,чтобыf(x) была непрерывна в т. необходимо и достаточно что она чтобы она была непрерывна в этой т. слева и справа.

15. Т.разрыва и их класс-я. Рассмотрим f(x)-в т.х₀-не является непрерывной, тогда-f(x)-терпит разрыв в т.х₀. Т. разрыва 1рода(с конечным скачком; с устранимым разрывом), 2рода. Т.разрыва 1 рода – если в этой точке существуют конечные односторонние пределы. 1 рода с конечным скачком, если односторонние пределы этой ф-и не равны между собой (а-b –величина скачка). lim_x→x0-0f(x)≠lim_x→x0+0f(x).1 родас устранимым разрывом- односторонние пределы этой ф-и равны между собой, но не равны значению ф-и в этой точке.2 рода – т. разрыва, в которой хотя бы 1 из односторонних пределов не существует или бесконечен.

15. Ф-и, непрер-е на отр. Т.о ф-ях, непрер. на отр. f(x)-непрерывна на отр. [a,b], если ф-я непрерывна в кажд т. на интервале (a,b), и в т. а ф-я непрерывна справа, в т.b непрерывна слева. f(x)-ограничена на [a,b], если найдется положительная константа, что для любого х из этого отрезка выполняется оценка |f(x)|<M. (f(x) [a,b] M>0: x[a,b] |f(x)|<M). 1Т Вейерштрассе: Если ф-я непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на [a,b]. С>0,CR, х[a,b], |f(x)|<C2Т Вейерштрассе: Если ф-я непрерывна на отрезке [a,b],то она принимает на нем наименьшие и наибольшие значения.m≤f(x)≤M.m=min_[a,b]f(x), M=max_[a,b]f(x). 1Т Больцано-Коши Если ф-я f(x) непрерывна на отр [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то между т.a и b найдется т.х₀,что f(x₀)=0 2Т Больцано-Коши Если f(x)-непрерывна на [a,b] и на концах принимает неравные значения(A≠B, f(a)=A, f(b)=B), то для любого y=С(A≤C≤B), лежащего между a и b,найдется т.х₀,такая что она примет любые значения между А и В.

15. Числ. послед-ть и её предел. Если по некоторому закону каждому натуральному числу сопоставляется действительное число, то говорят, что задана числовая последовательность х₁,…,х_n.{x_n}. Числовая послед- ф-я натурального аргумента f(1),…,f(n). Зам-е В силу 2 определения все т. о пределах можно перенести на числовые послед. А-предел {x_n}-числовой послед. lim_n→∞x_n=A↔ . Говорят, что предел числовой послед=∞, еслиlim_n→∞x_n=∞ ↔. Если предел числовой послед сущ-т и конечный, то послед -сходящаяся, в противном случае – расходящаяся. Послед {x_n}- монотонно-возрастающая (убывающая), если для всех номеров n, x_n<x_n+1 (x_n>x_n+1). Послед {x_n} – монотонно не убывающая (не возрастающая), если для любых номеров x_n≤x_n+1 (x_n≥x_n+1). Ч-я послед{x_n}- монотонная, если она монотонно ↑, монот↓, мон не↑, мон не↓. Ч-я послед {х_n}-ограничена, если существует такая константа М>0, что для всехn - |x_n|<M. Послед.{x_n}-ограничена сверху(снизу),если сущ константа M>0,что x_n<M (x_n>-M). Т1 Дост усл сход посл. Если она монот и огр-то сходится. Следствие: 1)если ч-я послед. мон убыв и огр снизу,то она сходится. 2) Если ч-я послед монот возр и огр сверхуб то она сходится.Т2 Дост усл сущ пред посл Если lim_x→∞f(x)=A, {x_n}: x=n, nN, f(x)=x_n, то предел числовой послед =А. lim_n→∞x_n=A. Зам-я: 1) Т2 позволяет вычислять пределы числ послед. 2) Т2 дает лишь достаточное условие сущ-я предел ч-й послед. Сущ. пред послед не следует, что существует предел ф-и. {sinπ} lim_n→∞{sinπ}=0, lim_x→∞{sinπx}-не существует - обратная теорема не верна.

15. Производная, ее геом и мех смысл. Касат и нормаль к кривой.

Рассмотрим ф-ю f(x) определена в окр-ти т. х₀. f(x) δ(x₀) Дадим приращение аргументу ∆x≠0: (x₀+∆x)(x₀), ∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀). ∆y/∆x-приращение ф-и к аргумент. Производной ф-и f(x) в х₀ наз-ся предел отношения приращения ф-и к вызвавшему его приращению аргумента, когда это приращение аргумента стремится к 0 и этот предел существует и конечный и обозначается. lim_∆x→0 =lim =f”(x₀), Н-р, найти произведение ф-и y=e^-4x по определению y=e^-4x=f(x), D(f)=R, x₀ δ(x₀). ∆x≠0 (x₀+∆x)(x₀) ∆y=e^-4(x₀+∆x) –e^-4x₀. ∆y/∆x=e^-4x₀(e^-4∆x -1)/∆x. lim_∆x→0∆y/∆x=(0/0)=lim_∆x→0 e^-4x₀(-4∆x)/∆x=-4e^-4x₀. y’/x=x₀ (e^-4x)’/=-4e^-4x₀. Мех смысл производн. Рассмотрим прямолин равномерное движение материальной точки (хотя в общем случае оно неравномерное). Пусть ф-я s=s(t)-описывает закон движ материал.т. t₀+∆t, t₀, ∆s=s(t₀+∆t)-s(t₀). ∆s/∆t – средняя скорость. Мгновенной скоростью движения материальной т. наз-ся предел средней скорости при ∆t→0. lim_∆t→0∆s/∆t=V(t₀). S’(t₀)=v(t₀) Вывод: мех. смысл производной ф-и в т. заключается в следующем: если f(x) описывает закон движения мат.т., то произв этой ф-и в т. есть мгновенная скорость. Геометр смыл произв. ф-и #! ∆М₀КМ-треуг, М₀(х₀,f(x₀)), M(x₀+∆x,f(x₀+∆x)),α-угол между секущей и осью абсцисс (х),φ-угол между касательной и осью абсцисс.tgα=MK/M₀K, tgα=∆y/∆x. Касательной к гр ф-и y=f(x) в т. М₀ наз-ся предельное положение секущей М₀М при непрерывном стремлении т.М к т.М₀ по кривой y=f(x). lim_∆x→0tgα=lim_∆x→0∆y/∆x. tgφ=f’(x₀)-геом. смысл. Вывод: производная ф-и y=f(x) в т. х₀ есть tg угла наклона касательной, проведенной к этой кривой с осью абсцисс. Касательная и нормаль. Пусть мы имеем кривую y=f(x) наз-ся прямая, проходящая ч/з т.М₀, перпендикулярно к касательной, проведенной в этой точке к данной прямой. Н-р, y-f(x₀)=k(x-x₀) – пучок прямых. k=f’(x₀). y-f(x₀)=f’(x₀)(x—x₀)- ур-я касательной к кривой заданной ф-и в т. с абсциссой х₀. Условие перпендикулярности двух прямых y=k₁x+b₁, y=k₂x+b₂. k₁k₂=-1.n┴k.Угловой коэффициент нормали = -1/угловой коэффициент касательной. k_Н= -1/k_КАС= -1/f’(x­₀). y-f(x₀)= -1/f(x₀)*(x-x₀) –ур-е нормали к кривой y=f(x) в т.х₀. Зам-я Если касательная || оси абсцисс ур-е нормали→х=х₀.

15. Ф-и, дифф-е в т. Критерий дифф-сти ф-и в т. Необх-е усл-е дифф-ти ф-и в т. Пусть f(x) – определена в нек окр-ти х₀ и в самой т.х₀. Ф-я f(x)-дифференцируемая в т.х₀,если приращение ф-и в этой точке=… ∆y=A∆x+(∆x)_∆x→0 ,A-величина постоянная, не зависит от ∆х, -б.м. по сравнению с ∆х. Т Крит диф ф-и Для того, чтобы ф-я была диф-ма в т.-необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой т.Док-во Необ-ть Дано: f(x)-диф в т, по опред ∆y=A∆x+(∆x)_∆x→0­ (1) Разделим почленно обе части на ∆х. ((∆x)_∆x→0=(1)_∆x→0 *∆x) ∆y/∆x=А+(1)_{∆x→0 ­}(2) Переход к пределу в л.ч. и пр.ч. рав-ва(2). Асимптотическое разложение ф-и, имеющ lim. lim п.ч.и =А→lim л.ч. и =lim (по опред) производной ф-и в т. Таким образом: lim_∆x→0∆y/∆x=А, f’(x₀)=А. Дос-ть Дано: производная ф-и в т→по критпред ф-и в т.(по асимптотич разлож):lim_∆x→0∆y/∆x=А. ∆y/∆x=А+(1) _∆x→0 (умн на ∆х), ∆y=A∆x+(∆x)_∆x→0. По опр – ф-я диф в т. х₀. Зам-е 1)Из док-ва Т вытекает равносильность (эквивал-ть) следующих понятий произв ф-и в т и диф-ть ф-и в т. 2)Из док-ва известно, чтоf’(x₀)=А, тогда приращение ф-и ∆y= f’(x₀) ∆x+(∆x)_∆x→0 Следствие Необход условие диф-ти ф-и в т. Если ф-я диф в т, то она непрерывна в этой т. Док-во По опр ф-и диф в т. можно записать, что приращение ф-и: ∆y=A∆x+(∆x)_∆x→0, ((∆x)_∆x→0=(1)_∆x→0 *∆x), [∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀), ∆x=x-x₀]. Б.м. приращ аргум соотв б.м. приращ ф-и. ∆x→0, ∆y→0. (по 3 опред→ф-я y=f(x) непр в т.) (). Зам-е Данная Т(след-е) дает лишь необх усл диф-ти ф-и в т.Из того,что ф-я непр в т. не следует,что она диф-ма в этой т.

15. Диф-л ф-и в т, его геом смысл. Пусть ф-я y=f(x) диф-ма в т.х₀. Диф-ал ф-и в т. – главная часть приращения ф-и (А∆х), линейно зависящая от ∆х и обозначается dy= А∆х [или df(x₀)]. Зам-я: В ходе док-ва критерия диф ф-и в т. установлено,что А=f’(x₀)→диф-ал приобретает вид: dy= f’(x₀) ∆x. для независ переем х полагают (def) ∆х=dx, dy=f’(x₀)dx. Рассм геом смысл диф-ла ф-и в т. #! Рассм ∆М₀ЕК: т.к. М₀Е-касат, ЕМ₀К=φ, tgφ=EK/M₀K. M₀K=∆x. tgφ-произв ф-и в т.ЕК= f’(x₀)∆х -диф-ал ф-и, ЕК=dy- геом смысл диф-ла ф-и в т. Вывод: с геом т. зрения дифференциал ф-и в т. есть приращение ординаты касательной (ЕК) при переходе из т. с абсциссой х₀ в т. х₀+ ∆х. Операция отыскания производной ф-и называется дифференцированием ф-и. d(u+v)=du+dv d(uv)=v*du+u*dv d(u/v)=(v*du-u*dv)/v^2(v≠0). d(c/v)= -c*dv/v^2. f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)* ∆x – вычисление приближенных значений ф-й.

15. Произв +,-,*,/ ф-й. Т: Если ф-и u=u(x) и v=v(x) -диф-мы в т.х₀, С=const, то ф-и С, Сu(x), u(x)v(x), u(x)*v(x), u(x)/v(x) (v(x)≠0) диф-мы в т.х₀, причем 1)C’=0, 2)(Cu)’=C(u)’, 3)(uv)’=u’v, 4)(uv)’=u’v+uv’, 5)(u/v)’=(u’v-uv’)/v^2. Док-во f(x)=u(x)*v(x), x₀, f(x₀0=u(x₀)v(x₀), f(x₀+∆x)=u(x₀+∆x)v(x₀+∆x). ∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀) ∆y=u(x₀+∆x) v(x₀+∆x)-v(x₀)u(x₀)= [u(x₀+∆x)v(x₀+∆x)-u(x₀)v(x₀)]+[u(x₀)v(x₀)-u(x₀)…]= xv(x₀+∆x)+u(x₀)+ v(x₀+∆x)]= [v(x₀+∆x)(u(x₀+∆x)-u(x₀))]+ [u(x₀)(v(x₀+∆x)-v(x₀))]=v(x₀+∆x)∆u+u(x₀)∆v. lim_∆x→0∆y/∆x= lim _∆x→0[u(x₀+∆x)v(x₀+∆x)-u(x₀)v(x₀)]/ ∆x= lim_∆x→0[v(x₀+∆x)∆u+u(x₀)∆v]/ ∆x= lim_∆x→0v(x₀+∆x)*∆u/∆x+ lim_∆x→0∆v/∆x*u(x₀)=v(x₀)* lim∆u/∆x+ u(x₀)* lim∆v/∆x= v(x₀)*u’(x₀)+ v’(x₀)u(x₀). Зам-я: 1)Утв 3 справедливо для любого конечного числа слагаемых. 2) Утв 4 справедливо для любого конечного числа сомножителей (uvw)’=(uv)’w+(uv)w’=(u’v+uv’)w+uvw’=u’vw+uv’w+uvw’. 3)Если рассматривать ф-ю вида (u(x)/C)’,где u(x) – диф-ма – целесообразно 1.С вынести: (u(x)/C)’=1/С*u’(x).

15. .Произв элем-х ф-й. y=x^α, αR, D(y)=R. Берем т из D(y) и фиксируем. х₀,∆х≠0: х₀+∆х(х₀). lim_∆x→0∆y/∆x=lim_∆x→0(х₀+∆х)^α/∆х=lim_∆x→0х₀^α[(х₀+∆х)^α/х₀^α-1]/∆х=lim_∆x→0х₀^α [(1-∆х/х₀)^α-1]/ ∆х=lim_∆x→0(х₀^α*∆х/х₀)/∆х=αх₀^α-1. (х^α)’=αх₀^α-1 y=a^x. a>0, a≠1, D(y)=R. х₀, ∆х≠0, х₀+∆х(х₀), lim_∆x→0∆y/∆x=lim_∆x→0(a^(х₀+∆х) -a^х0)/∆x= lim _∆x→0a^x0(a^∆x -1)/ ∆x= lim _∆x→0 (a^x0*∆x*lna)/ ∆x= a^x0ln a. (a^x)’= a^x0ln a. (e^x)’= e^x y=log_ax a>0, a≠1, D(y)=(0,+∞). х₀, ∆х≠0, х₀+∆х(х₀), lim_∆x→0∆y/∆x=lim_∆x→0(loga(х₀+∆х)-log_a х₀)/ ∆x= lim _∆x→0log[(x₀+ ∆x)/ ∆x]/ ∆x= lim _∆x→0log_a(1+ ∆х/ x0)/ ∆x= lim _∆x→0 (∆x/x₀*ln a)/ ∆x=1/x₀*lna (log_ax)’=1/x₀*lna (lnx)’=1/x y=sinx D(y)=R х₀, ∆х≠0, х₀+∆х(х₀) {sina- sinb=2sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2} lim _∆x→0∆y/∆x= lim_∆x→0[sin(x₀+∆x) – sinx₀]/ ∆x= lim_∆x→0 (2sin{∆x/2}*cos(х₀+∆х/2))/ ∆x= lim_∆x→0 sin(∆x/2)/( ∆x/2) {1й зам пред=1} *cos(х₀+∆х/2)=cosх₀ (sinx)’=cosx y=cosx= sin(π/2-x) y’=(sin(π/2-x))’= cos(π/2-x)*(π/2-x)’= -cos(π/2-x)= -sinx (cosx-cosy= -2sin(x+y)/2*sin(x-y)/2 – если док,как и sin) (cosx)’=-sinx y=tgx D(y)={x|x≠π/2+πn, n х₀z} y’=(sinx/cosx)’= {(sinx)’cosx – sinx(cosx)’}/cos² x=1/cos²x (tgx)’=1/cosx y=ctg x D(y)={x|x≠π+πn, nZ} (ctgx)’= -1/sin²x

25. Произв сл ф-и. Т: Если ф-я u=φ(x₀) диф-ма в т.x₀ ,а ф-я y=f(u) диф-ма в т. u₀=φ(x₀), то сложная ф-я y=f[φ(x)] имеет произв в т х₀ - y’=(f[φ(x)])’=f’(u₀)* φ’(x₀). Док-во: возьмем т х₀ для ф-и х₀ u=φ(x), (∆x≠0), ∆х →вызовет приращение ∆u→ ∆y. ∆y=f’(u₀)∆u +(∆u) _∆u→0, ∆y=f’(u₀)∆u +∆u*(1) _∆u→0, {∆y/∆x=f’(u₀)*∆u/∆x +∆u/∆x*(1) _∆u→0} .lim от{*} lim_∆x→0∆y/∆x=f’(u₀) lim_∆x→0∆u/∆x+б.м. (lim_∆x→0(1)_∆u→0=0), lim_∆x→0∆y/∆x=f’(u₀)φ’(x₀) Предел пр ч и конечен→lim л.ч. y’=(f[φ(x)])’=f’(u₀)* φ’(x₀). Ф-я имеет производную →дифференцируема.

25. Произв обр ф-и. Если y=f(x)- непр и x=φ(y)-обр для нее. Т Если ф-я y=f(x) имеет в т ч₀ производную f’(x₀)≠0, то обратная ф-я x=φ(y) также имеет в соответствующей т. y₀=f(x₀) производную, причем φ’(y₀)=1/f’(x₀) Док-во Дадим аргументу ф-и x=φ(y) приращение ∆y ≠0 в т. y₀ x=φ(y) получит приращ ∆х, причем ∆х ≠0 → ∆x/∆y=1/(∆y/∆x) Перейдем в равенстве к пределу при ∆y→0 →обратная ф-я x=φ(y) непрыв и монотонна в т у₀ то ∆x→0 при ∆у→0. Но при ∆x→0 lim пр.ч. сущ-ет и =1/f’(x₀) → сущ-ет lim л.ч. рав-ва, к-й по опред = φ’(y₀). Получаем φ’(y₀)=1/f’(x₀).Ч.т.д. Производная обратной ф-и равна обратной величине производной данной ф-и.

25. Произв обр триг. ф-й. y=arcsin x y’=1/ (|x|<1) Док-во Ф-я обратная для ф-и x=siny. х’(у)=cos y. По т о произ обр ф-и получаем y’(x)=1/x’(y)=1/cosy=1/, корень взят с +,т.к.cosy положителен на интерв - π/2<y< π/2. учитывая, что siny=x имеем y’=1/ y=arcos x y’(x)= -1/Док-во аналогично y=arctg x y’=1/(1+x²) Док-во y=arctg x обратная для x=tgy x’(y)=1/cos²y y’(x)=1/x’(y)=cos²y 1/cos²y=1+ tg²y=1+x² → y’(x)= -1/ y=arcctgx y’=-1/(1+x²) Док-во аналогично

25. Гиперб ф-и, их св-ва, граф и произв. Гиперб ф-и определяются ф-ми,е –неперово число. По определению: shx=(e^x-e^-x)/2 chx=(e^x+e^-x)/2 thx=shx/chx=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x) cthx=chx/shx=(e^x+e^-x)/ (e^x-e^-x) Св-ва 1) D(sh)= D(ch)= D(th)=R, D(cth)={x|x≠0,xR}2) chx-четная {f(x)=f(-x)}, все ост – нечетные{f(-x)=-f(x)}. 3)Основные закономерности: ch²x- sh²x=1(Доказ из определения гиперб ф-и) sh(xy)= shx*chychx*shy ch(xy)=chx*chyshx*shy th(xy)=(thxthy)/1thx*thy, sh2x=2shx*chx ch2x=ch²x+sh²x

(sh)’=ch (ch)’=sh (th)’=1/ch²x (cth)’= -1/sh²x

25. Инвариантность дифференциалов первого порядка. Инвариантность – вместо х можно поставить любую ф-ю. 1)х-независим переем dx=∆x=const dy=y_x’dx (1) 2) x-завис перем, y=(x), x=φ(t). y_t’=(f[φ(t)])’=f_x’* φ_t’ dy=y_t’dt=f_x’(φ_t’dt) dx= φ_t’dt, dy=f_x’dx→ dy=y_x’dx (2) Сравнивая 1 и 2 видно,что диф-ал ф-и 1го порядка имеет вид произведения производной по нек-й переменной на диф-ал этой переменной. Независимо от того,явл ли эта переем завис или независ. Большинство теор о производной перенос на диф-алы. Если u=u(x), v=v(x) –диф-е ф-и, С=const, то 1)dC=0 2)d(Cu)=Cdu 3)d(uv)=dudv d(uv)v*du+u*dv d(u/v)=(v*du-u*dv)/v^2(v≠0) {d(c/v)= -c*dv/v^2}

30. Логарифмическое дифференцирование. В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную ф-ю сначала прологарифмировать. А затем результам продифференцировать. ln(a/b)=lna-lnb ln(ab)=lna+lnb ln x^y=y*lnx 1/y*y’=(прологарифмированная часть)’ → y’=y*(пролог часть)’ y’=f(x)(ln f(x))’ Степенно-показательная ф-я y=u^v u=u(x) v=v(x) (Путем логарифмич диф-я получаем) (u^v)’= u^v* lnu* v’+v*u^(v-1)*u’. Произ степ-пок ф-и=сумме производной показат ф-и,при условии u=const, и произв степ ф-и при усл v=const.

30. Произв высш пор-в. y’=f’(x)-ф-я от х-произв 1го порядка. Если y’ диф-ма, то y”=(y’)’ (f”x, d²x/dx², d/dx(dy/dx), dy’/dx). Если y” диф-ма, то y”’=(y”)’ (f”’(x), d³y/dx³). y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’ -Произв высш пор. 1)f(x)=C C⁽ⁿ⁾=0. 2) y=u(x) (C*u(x))⁽ⁿ⁾=C(u(x))⁽ⁿ⁾ 3) (uv)⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾ v⁽ⁿ⁾ 4) (u*v)⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾*v+(n/1!)* u⁽ⁿ⁾v’ + [n(n-1)/2!]*u^(n-2)v²+ [n(n-1)(n-2)/3!]u^(n-3)v³+…+u*v⁽ⁿ⁾. –ф-ла Лейбница. y⁽ⁿ⁾=(a^x)⁽ⁿ⁾=a^x ln⁽ⁿ⁾a y⁽ⁿ⁾=(e^mx) ⁽ⁿ⁾= mⁿ e^mx. y⁽ⁿ⁾=sin⁽ⁿ⁾x=sin(x+π*n/2) y⁽ⁿ⁾=cos⁽ⁿ⁾(x)=cos(x+π*n/2)

30. Диф-алы высш пор-в. Не инвар-ть диф-алов высш пор-в (п ≥ 2). Для ф-и y=f(x) дифференциал 1-го порядка dy=f’(x)dx – ф-я от х.Диф-л 2го порядка ф-и y=f(x) –диф-ал от диф-ла 1го порядка.d²y=d(dy)=d(f’(x)dx) =dxd(f’(x))=dx(f’(x))’dx =f”(x)(dx)²=f”(x)d(x²) d³y=d(d²y)=dx²d(f”(x))= f”’(x)(dx)³= f”’(x)dx³ dx=∆x – константа по отношению к х. dx-диф-ал не зависимой переменной и не зависит от х. dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ – произведение производн n-го порядка на n-ю степень диф-ала независимой переменной. В общем случае диф n-го порядка ф-и f(x) =диф от диф(n-1) порядка: dⁿ(f(x))=d(d^n-1f(x)). Если же ф-я y=f(x) сложная,то уже диф-ал 2го порядка и выше не обладают свойством инвариантности формы. Пусть y=f(u),где u=φ(x),т.е. y=f(φ(x))- сложная ф-я d(y)=f’(u)du-доказано ( d(uv)= v*du+u*dv) d²(y)=d(dy)=d(f’(u) du)=du*d(f’(u))+f’(u)d(du)= du*f”(u)du+f’(u)*d²u = f”(u)du²+f’(u)d²u (*) В ф-ле для диф 2го поря сл ф-и появилось 2е слагаемое, т.е. диф 2го пор от сл ф-и не обладает инвариантностью. ! На практике диф 2го пор от сл ф-и вычисляют не по вывед ф-ле (*), а по отпределению- dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

30. Ф-и, задан параметрически, их произв. Пусть зависимость между {х=х(t),{y=y(t). t(α,β), t=φ(x)-обр ф-я для x(t) t-параметр, вспомогат переменная. x(t)- строго монот, чтобы сущ обр ф-я. t’(x₀)=1/x’(t₀). Ф-ю y=f(x)б определяемую параметрическими Ур-ми можно рассматривать,как сложн ф-ю y=y(t), t=φ(x). По прав диф слож ф-и имеем: y_x’=y_t’*`/x_t’, т.е. y_x’=y_t’/x_t’ Получ ф-ла позвол находить произв от ф-и зад параметр,не находя непосредственной зависимости y от x. y”_xx=(y’_x)_t’/x_t’

F(x;y)=0 не разрешенное относительно у – неявно зад ф-я. Достаточно продифференцировать уравнение по х, рассматривая при это у, как ф-ю х – найдем производную. y_x’=a’(t)/b’(t) y_x”=[a”(t)*b’(t) –b”(t)a’(t)] /{b’(t)}²

30. Т Ферма. Т о среднем: т Ролля, т Коши, т Лагранжа. Т Ферм’а. Если ф-я дифференцируема на промежутке D и во внутренних т х₀ этого промежутка достигает своего наиб или наим значения, то f’(x₀)=0. Док-во Пусть для определенности f(x₀)=max_Df(x), тогда для хD, f(x)≤f(x₀), в том числе для (x₀+∆x): f(x₀+∆x)≤f(x₀), (∆y≤0)↔ f(x₀+∆x)-f(x₀). lim_∆x→0+0∆y/∆x≤0] lim_∆x→0–0∆y/∆x≥0]→ Т.к. по усл ф-я y=f(x)диф-ма в т.х₀, то lim∆y/∆x. lim_∆x→0∆y/∆x=lim_∆x→0+0∆y/∆x=lim_∆x→0–0∆y/∆x и он единственный. lim_∆x→0∆y/∆x=0, т.е. lim_∆x→0∆y/∆x=f’(x₀)=0. Зам-е: Если ф-я непр на D и в т х₀ принимает свое наиб или наим знач,то f’(x₀)=0 (Если f’(x₀) – существует) или f’(x₀)- не существует в эт т. вообще. В т. наиб или наим знач, достигаемого внутри пром D касат к гр ф-и либо параллельна оси О.x (f’(x₀)=0), либо не существует. Геом: f(x₁)=max_Df(x), f’(x₁)=0 (плавн переход). f(x₂)=min_Df(x). f’(x)-не сущ (излом, остриё). #! Т. о сред 1 Т Ролля: Если ф-я y=f(x) удовлетворяет 3м условиям: 1) непр на [a,b] 2) диф-ма хотя бы на инт (a,b) 3) на концах отрезка принимает равные значения f(a)=f(b) тогда т.С (a,b), в к-й f’(C)=0, хотя бы 1. Док-во: Т.к. f(x) –непр на [a,b], то по т Вейерштр она приним на отр [a,b] свое наиб и наим знач, а также все знач между ними. m≤f(x)≤M. 1) Если m и M достиг на концах отрезка, т.е. в силу 3усл f(a)=f(b) m=M= f(a)=f(b), то f(x)=const (x между m и M) для х [a,b], тогда f’(x)=(const)’=0 2) Если же хотя бы 1 из этих знач –наим(наиб) достигается внутри отрезка,то произв в соотв т.=0 по Т Ферма. касат || о.х.Геом: #! Пусть вып Т Ролля. Тогда найдется хотя бы 1 т. на инт (a,b), в к-й касат || оси о.х. Если нарушается хотя бы 1 из усл Т Ролля, то Т не действует. 2 Т Лагранжа: Если вып усл: 1) непр на [a,b] 2) диф-ма хотя бы на инт (a,b) 3) то найдется хотя бы 1 точка (кси) ξ что выполняется: ξ(a,b): f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) (1)–ф-ла Лагранжа. Док-во: Т Лагр.- часн случай Т Коши,в случае, когда g(x)=x.х_0, x₀+∆x, f(x)-f(x₀)=∆y, ∆y=f’(ξ)∆x –разнов ф-лы Лагр о конечном приращении. Геом: #! Из (1) выразимпроизв в т. f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a) tgφ=[f(b)-f(a)]/(b-a), tgφ=f’(ξ). Пусть вып усл Т Лагр, тогда геом смысл: на (a,b) хотя бы 1 т. на прямой, в к-й касат нараллельна секущей АВ.Т Коши Если выполн усл: 1) непр на [a,b] 2) диф-ма хотя бы на инт (a,b) 3) g’(x)≠0 x(a,b) Тогда найдется т. ξ из (a,b),что ξ(a,b): [f(b)-f(a)]/ [g(b)-g(a)]= f’(ξ)/g’(ξ) (2) –ф-ла Коши. Док-во: (от прот) 1)Лев часть сущ g(b)≠g(a). Предпол, что g(b)=g(a) – удовл усл Т Ролля, тогда т.c(a,b), что g’(c)=0, но по 3усл g’(x)≠0 →противореч → выраж в лев части определено. 2) φ(x)=f(x)-λg(x), λ-числов множ., φ(a)=φ(b), f(a)-λg(a)=f(b)-λg(b), λ=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] Удовл усл- непрер, как сумма непр ф-й; диф, как алг сумма диф ф-й на инт (a,b)б на концах отр равн знач. → вып усл Т Ролля→ найдется хотя бы 1 т ξ : ξ(a,b): φ’(ξ)=0, f’(ξ)-λg’(ξ)=0, λ=f’(ξ)/g’(ξ) →[f(b)-f(a)]/ [g(b)-g(a)]= f’(ξ)/g’(ξ) Ч.т.д.

30. Ф-ла Тейлора. Разл ф-й е^x, sinx, cosx по ф-ле Тейлора. Пусть f(x) имеет произв до (n+1) порядка включительно в окр т х₀ (δ(х₀)), тогда имеет место ф-ла Тейлора. f(x)=f(x₀)+ f’(x₀)/1!*(x-x₀)+ f”(x₀)/2!*(x-x₀)²+…+f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!*(x-x₀)+r_n(x), r_n(x)-ост член ф-лы Тейлора. Ост член ф-лы Тейлора мож быть в ф-ме Пеано и в ф-ме Лагранжа. r_n(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾ (ξ)/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹, ξ(x₀,x)- ост чл задан в ф-ме Пеано. r_n(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀+θ(x-x₀))/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹ 0<θ<1, то говорят,что ост чл задан в ф-ме Лагранжа.Если ч₀=0,то получ частн случай ф-лы Тейлора- ф-лу Маклорена. К ф-ле Маклорена можно прийти в ф-ле Тейлора заменой х-х₀=у. #! y⁽ⁿ⁾=sin⁽ⁿ⁾x=sin(x+π*n/2) y⁽ⁿ⁾=cos⁽ⁿ⁾(x)=cos(x+π*n/2).

30. Т Лопиталя. Пр-ло Лопиталя. При вычислении lim ф-и раскрываются неопределенности типа: (0/0), (∞/∞), (0*∞), (∞-∞), (1^∞), (0⁰), (∞⁰).В ряде случаев ддля раскрытия этих неопределенностей ранее рассмотренные методы не позволяют раскрыть их. В таких случаях применяют правило Лопиталя. Т Лопит 1: если вып усл:1)f(x) и g(x)- непр на (a,b), 2)диф на (a,b), g’(x)≠0 x(a,b), 3) lim_x→a+0f(x)=lim_x→а+0g(x)=0, 4) lim_x→a+0f’(x)/g’(x)- конечный или бесконечный, то существует: lim_x→а+0f(x)/g(x)=lim_x→а+0 f’(x)/g(x) (3) и он равен пределу производных. Док-во: Доопределим ф-и в т.а f(a)=g(a)=0, f(x) и g(x) непр на [a,b). Ф-и удовл Т Коши. [a,х][a,b). Произв отлич от 0. Тогда т.ξ(a,х): [f(x)-f(a)]/[g(x)-g(x)]=f’(x)/g’(x). {f(a)=g(a)=0} f(x)/g(x)=f’(x)/g(x) (4) x→a, тогда ξ→a. Если lim_x→а+0f’(x)/g’(x)=C, то сущ и lim_x→а+0f’(ξ)/g’(ξ)=C. (4) –предел отн равен пределу → (3). Ф-и непр на отр x→a, ξ→a. В силу непр можем записать (3)=lim_ξ→a+0f’(x)/g’(x)=lim_x→a+0f’(x)/g’(x)=lim_x→a+0f(x)/g(x). Для неопр (0/0). Т Лопит 2 Если вып усл: 1)f(x) и g(x)- непр на (a,b), 2)диф на (a,b), g’(x)≠0 x(a,b),3) lim_x→a+0f(x)=lim_x→а+0g(x)=∞, 4) lim_x→a+0f’(x)/g’(x)- конечный или бесконечный, то существует: lim_x→а+0f(x)/g(x)=lim_x→а+0 f’(x)/g(x). Док-во аналогичн Т Лопит 3 Пусть вып усл 1)f(x) и g(x)- непр при x>L, 2)диф при x>L, g’(x)≠0 x>L, 3) lim_x→+∞ f(x)=lim_x→+∞ g(x)=∞, 4) lim_x→+∞f’(x)/g’(x)- конечный или бесконечный, то существует: lim_x→+∞ f(x)/g(x)=lim_x→+∞ f’(x)/g(x). x→b-0, x→b, x→-∞… Для любого случая можно применять Т Лопит. Зам-е При выполн соотв усл можно применять Т Лоп неск раз. Т Лоп дает лишь дост усл для раскрытия неопределенностей (0/0) и (∞/∞).Т.е. если наруш усл Т,нельзя делать вывод,что не сущ lim отнош ф-й. Неопр можно раскрывать сводя к неопр (0/0) и (∞/∞).

37. Мон ф-и. Дост усл монот-ти. f(x)- монотонно возрастающая(убывающая) на нек пром Х, если для х₁,х₂Х, х₁<x₂, f(x₁)<f(x₂) { х₁>x₂, f(x₁)>f(x₂)}. f(x)- монот-неубывающая (невозр) х₁,х₂Х, х₁<x₂, f(x₁)≤f(x₂) { х₁>x₂, f(x₁)≥f(x₂)}.f(x)- монот, если она: мон↑, мон↓, мон не↑, мон не↓. f(x) –кусочно-монот на Х,если этот промежуток можно разбить на конечное число промежутков,на кажд из к-х ф-я монотонна. 1)у=х² (-∞,+∞) (-∞,0), (0,+∞). 2) y=sinx (-∞,+∞)- не явл кусочно-монот,т.к. числ прям нельзя разбить на конечн ч-ло отр. 3)y=sinx [-π,π]. Т Дост усл мон ф-и. Если вып усл: 1) f(x)- опред на Х: на концах пром Х, если она принадлежа-ф-я непрерывна. 2) f(x) – диф внутри пром Х –в кажд внутр точке. 3) f’(x)>0 на Х(f’(x)<0, хХ), то ф-я f(x) монот возр(мон уб) на пром Х. Док-во: Пусть f’(x)>0, xX. тогда x₁,x₂X, x₁<x₂, [x₁,x₂], f(x) [x₁,x₂] Удовл Т Лагр на отр [x₁,x₂], т.ξ(x₁,x₂). f(x₂)-f(x₁)= f’(x)(x₂-x₁). f’(x)>0, (x₂-x₁)>0→f(x₂)>f(x₁) →f(x)- мон возр. Ч.т.д. Т дает лишь дост усл мон ф-и на пром.

37. Экстр-мы. Необх усл экстр. х₀- т. максимума(минимума), δ(х₀), f(x)<f(x₀), (f(x)>f(x₀)). Значение ф-и в т. макс-ма- макс знач ф-и, или максимум. Зн ф-и в т мин- знач ф-и или мин ф-и. Макс и мин знач ф-и экстремумы ф-и. Зам-е Отдельн мин знач ф-и могут быть больше отдельн макс знач ф-и. Понятие макс –локальное понятие. Наиб и наим – глобальн. Касат к гр ф-и в т. мин и макс коллинеарна оси о.х. Т Необх усл экстр Пусть х₀- т. экстр ф-и f(X), тогда если в этой т. существует производная,то она=0. Док-во Удовл усл Т Ферма, f’(x)=0. Вывод: в т. где произв не сущ- экстр может быть, может не быть. f(x)- может иметь произв в т. где произв =0 или не сущ. Геом: Если в т. экстр. имеет произв, то касат кривой в этих точках коллинеарна оси абсцисс(|| оси о.х). Точки,в к-х ф-я определена и произв=0- стац точки. Точки,в к-х ф-я определена и произв не сущ- критич т. Зам-е Не всякая критич т. –т. экстремума. Ф-я φ(х) –меняет знак с + на – в нек окр-ти х₀ δ(х₀), если х(х₀-δ, х₀) φ(x)>0. x(x₀, x₀+δ) φ(x)<0. Аналогично-ф-я мен знак с – на +

37. Дост (два) усл экстр. Т 1 дост усл экстр: Если вып усл: 1) ф-я имеет произв в окр-ти т. х₀, кроме м.б. самой т. х₀- , 2)f’(x)=0, то f’(x₀)- меняет знак с + на -, то х₀-т. максимума, если при переходе ч/з х₀ f’(x) меняет знак с – на +, то т.х₀ – т.мин. Док-во: f’(x) + -, δ(x₀). х(х₀-δ, х₀) f’(x)>0. x(x₀, x₀+δ) f’(x)<0. (По дост усл монот) →f(x₀) до х₀ мон возр, после х₀ – мон уб. По def →х₀-т. макс. Аналогично 2й случай. Т 2 дост усл экстр: Если вып усл: 1) ф-я имеет 1 и 2ю произв в нек окр т. х₀, 2) f(x)- непр в самой т. х₀. 3) f’(x)=0, 4)f”(x₀)≠0, то :а)f”(x₀)>0 – х₀ т. мин ф-и,б)f”(x₀)<0- х₀ т. макс ф-и. Зам-е: Т справедлива только для стац точек (у’=0).

37. Вып, вогн крив. Дост усл вып-ти, вогн-ти крив. Пусть ф-я y=f(x) имеет 2ю произв на интерв (a,b)→в люб т. интервала можно провести касат не || о.х. Кривая – выпуклая- вниз(вверх), если все т. кривой на интервале (a,b) лежат не ниже касат, проведенной в любой т. интервала (не выше). Зам-е y-ордината текущей т. кривой y=f(x). Y-орд текущ т. касат к этой кривой. (Y-y≥0){для х(a,b)}↔(кривая y=f(x) выпукла на (a,b)- вверх), (Y-y≤0){для х(a,b)}↔(кривая y=f(x) вогнута на (a,b)- выпукла вниз). Т.Дост усл вып, вогн кривой Пусть ф-я f(x) имеет 2ю произв на интерв (a,b). Тогда если y”(x)>0 (на (a,b)) x(a,b), то кривая f(x) вогнута (выпукла вниз) на (a,b). f”(x)>0 x(a,b)→f(x)– вогн (вып вниз) (a,b). f”(x)<0 x(a,b)→f(x)– вып вверх на (a,b). Док-во: Ф-я имеет 2ю произв возьмем любую т. х из интервала (a,b) и зафиксировали. х₀(a,b). М₀ (х₀, f(x₀))- к этой т. проведем касательную. {Ф-ла Тейлора, в ф-ме Пеано} Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀) y=f(x₀)+f’(x₀)/1!*(x-x₀)+ f”(x₀)/2!*(x-x₀)², x₀<ξ<x. Y-y= -f”(ξ)/2!*(x-x₀)². {(x-x₀)≥0}. x₀<ξ<x. {ξ(a,b)} f” (ξ)<0 →Y-y≥0 –кривая выпукла вверх. f” (ξ)>0 →Y-y≤0 –кривая вогнута (вып вниз). Справедливо на интервале (a,b)

37. Т перег. Необх усл т. перег. Дост усл т перег. Т.х₀- т. перегиба, если при переходе ч/з нее кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот. Зам-е: х(х₀-δ, х₀) вогнута(вып). x(x₀, x₀+δ) вып(вогн). Т Необх усл перег Пусть х₀ –явл т. перегиба кривой y=f(x) и эта ф-я имеет 2ю произв в нек окр т. х₀, непрерывную в самой т. х_0,тогда 2я произв в т. х₀=0. Док-во: х₀ –перегиба, в окр. непр и в самой т. От противного: Предположим, что f”(x₀)≠0. Тогда f”(x) ≥0(≤0) ? f’(x₀)>0 →δ(x₀): xδ(x₀) f”(x)>0→ кривая вогнута δ(x₀). →т. перег не мож быть!-противоречие. f’(x₀)<0 →δ(x₀): xδ(x₀) f”(x)<0→ кривая выпукла δ(x₀). →т.х₀- не явл-ся т.перег -противоречие. →ПРЕДПОЛ НЕВЕРН Зам-е: Кривая может иметь т. перегиба и в т., где 2я произв не сущ. Лишь необх усл- у”=0 – не обяз т. перегиба. {Т-лишь необх усл перег – y=x⁴-не меняет,а сохраняет вогнутость-не явл т.перег}. Т Дост усл перег: Если вып усл: 1)ф-я имеет 2ю произв в нек-й окр-ти т х₀, кроме б.м. самой т. х₀, 2)f”(x)=0, 3)при переходе ч/з т.х₀ 2я произв меняет свой знак с + на – или с – на +, то х₀- т. перегиба. Док-во: Имеем: f”(x₀)=0-т.подозрит на перегиб. { Пусть f”(x₀)<0, кривая выпукла (х₀- δ,x₀) х(х₀-δ,x₀). х(х₀,x₀+δ) f”(x₀)>0→кривая вогнута (х₀,x₀+δ) } →Крив при переходе ч/з х₀- меняет выпуклость на вогнутость →т. перегиба. Аналог док 2й случай. Зам-е: Если 2я произв ф-и при переходе ч/з т.х₀ не меняет знака,то х₀ не явл т. перегиба. План исслед на т. перег: 1. Обл-ть опред 2. Наход f”(x₀) 3.Наход кр.т. по 2й произв. 4. Исслед знак 2й произв: f”(x₀)>0 – крив вогнута, f”(x₀)<0 –крив выпукла. Если при переходе ч/з х₀ – меняется знак 2й произв – то т. перегиба.

37. Асимпт крив. Крит сущ неверт асимпт. Асимптоты кривой –прямые, к к-м кривая неограниченно приближается по мере её удаления от начала координат. Прямая х=х₀- верт асимптота если хотя бы 1 из односторонних пределов ф-и бесконечный. Ас-ты: верт, неверт(гориз, накл) Зам-я1)Верт ас-ты сущ в т разрыва ф-и 2) Верт ас-ты мож быть несколько 3) Верт ас-ты коллинеарны оси ординат 4) верт ас-ты могут быть на границе обл определения. Неверт ас-ты – Прямая y=kx+b+_∆x→+∞ Зам-е: 1)Опр. Неверт ас-ты справедливо при х→ -∞. 2) y=kx+b х→+∞ (х→ -∞). k=0,y=b –гориз ас-та, k≠0 y=kx+b – наклонная асимптота (x→+∞, или x→ -∞). Т Крит сущ неверт ас-ты: Для того,чтобы кривая, заданная y=f(x) имела неверт ас-ту y=kx+b x→+∞ необх и достаточно, чтобы существовало два (конечных) предела. lim_x→+∞f(x)/x=k. lim_x→+∞[f(x)-kx]=b. (y=f(x) y=k(x)+b х→+∞)↔{lim_x→+∞f(x)/x=k. lim_x→+∞[f(x)-kx]=b} Док-во: Необх-ть: по опред f(x)=kx+b+_∆x→+∞ f(x)/x=k+b/x+_∆x→+∞*1/x lim_х→+∞f(x)/x=lim_х→+∞[k+ b/x+_∆x→+∞*1/x] → lim_х→+∞f(x)/x=k. f(x)= kx+b+_∆x→+∞ f(x)-kx=b+_∆x→+∞ lim_х→+∞[f(x)-kx]=lim_х→+∞[b+_∆x→+∞] → lim_х→+∞[f(x)-kx]=b. Дост-ть: Ф-я f(x)-kx=b+_∆x→+∞(по критерию) f(x)=kx+b+_∆x→+∞ y=kx+b х→+∞ Зам-е: 1)Критерий справедлив и при х→-∞ 2)Для отыскания неверт ас-ты ущут предел. lim_х→+∞f(x)/x=k Если этот предел сущ-т и конечный, то он равен л и тогда ищут 2й предел: lim_х→+∞[f(x)-kx]=b Если этот предел существует и конечный, то = b. В этом случае кривая y=f(x) имеет неверт ас-ту y=kx+b (х→+∞, х→ -∞). Если хотя бы 1 из этих пределов не существет или бесконечен,то говорят, что кривая не имеет неверт ас-ты при х→+∞ (х→-∞).

37. Первообр. Т о первообр. F(x)-первообразная для f(x) на (a,b), если F’(x)=f(x) для х(a,b). Т 1 Если F(x) явл первообр для ф-и f(x) на (a,b) то и ф-я F(x)+C -также явл. Первообр для ф-и f(x) на (a,b). С- произвольн постоянная. Док-во: [F(x)+C]’=F’(x)+C’=f(x)+0= f(x). C=const. x(a,b). По опр делаем вывод: F(x)+C –первообр для f(x). Если x(a,b)- не выполн- надо быть внимат. След. Из Т Лагранжа: Если f(x) имеет произв на (a,b) причем на всем интервале произв =0Ю то ф-я сохраняет пост значение на интервале (a,b). Т2 Если F₁(x) и F₂(x)- это первообразные для одной ф-и f(x) на интервале (a,b), то они отличаются на постоянную величину. Док-во: F₁(x)=f(x) x(a,b); F₂(x)=f(x) x(a,b). Φ₁(х)= F₁(x)-F₂(x). – диф-ма,как разность диф ф-й. Φ’(х)= F’₁(x)-F’₂(x)=f(x)-f(x)=0 x(a,b) следств из Т Лагранжа – ф-я сохр пост знач на интерв (a,b). Φ(х)=С, F₁(x)-F₂(x)=С. Ч.т.д.

37. Неопр инт и его св-ва. Дост усл сущ неопр инт. Инвар-ть неопр инт. Внесен ф-и под знак диф-ла.Неопр инт для f(x) на (a,b)- мн-во всех первообразных для этой ф-и на указ интервале - и обозначается след обр: ∫f(x)dx=F(x)+C , где F(x)- одна из первообр f(x) на (a,b). С- произв пост. F(x) – подинтегральная ф-я (п∫ф-я). Т3 Дост усл сущ-я неопред инт: Если ф-я f(x)- непр на (a,b), то существ ∫f(x)dx. Зам-е: Не всегда неопр ∫можно вычислить ч/з конечное ч-ло элемент ф-й. Интегал Пуассона: *∫е^-x²dx (теория вер), ∫dx/lnx – интегральн логарифм(теория чисел), *∫cosx²dx ∫sinx²dx – инт Френеля (физика), ∫sinx/xdx, ∫cosx/xdx инт sin и cos. ∫e^x/x*dx –инт показ ф-я. *-изучены,есть табл значений. Св-ва неопр ∫: 1)( ∫f(x)dx)’=f(x) Произв.неопр ∫=(п∫ф-я). Док-во: ∫f(x)dx=F(x)+C, (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x). Ч.т.д. 2) d∫f(x)dx=f(x)dx Д-во (∫f(x)dx)’=f(x) d∫f(x)dx=fxdx Ч.т.д. 3) ∫dF(x)=F(x)+C, C=const. 4) Если ф-я f(x) и g(x) интегрируемы на (a,b),то их алг сумма тоже инт на (a,b). ∫[f(x)g(x)]dx=∫f(x)dx∫g(x)dx (1) Зам-е:ф-ла (1) понимается в смысле равенства первообразных, т.е. с точностью до const – л. и п. части совпадают с точностью до константы. Д-во: Пусть f(x) имеет первообр F(x) на (a,b). Φ’(х) (a,b) g(x) опр первообр → F’(x)=f(x) x(a,b) Φ(х)=g(x) x(a,b) ∫f(x)dx=F(x)+C₁, ∫g(x)dx=Φ(х)+C₂ Рассм ф-ю: [F(x)Φ(х)]’=F’(x)Φ’(х)=f(x)g(x). x(a,b) Т.е. мы имеем право записать: ∫[f(x)g(x)]dx=F(x)Φ(х)+C. (2) С др стороны, если рассмотрим ∫f(x)dx∫g(x)=F(x)+C₁Φ(х)+C₂=F(x)Φ(х)+[C₁+C₂] (3) Сравнивая пр ч (2) и (3) →совпадают до const и л.ч. совпад с точн до const 5)Если ф-я f(x) интегр на (a,b) λR (действ ч-ло) ∫λf(x)dx=λ∫f(x)dx (Аналогично док-ву св-ва 4) Т4 Инвар-ть неопр инт Если инт ∫f(x)dx=F(x)+C, то для люб диф ф-и u=u(x) интеграл ∫f(u)du=F(u)+C. Внес ф-и под знак диф-ала. f(x)dx=dF(x) ф-ю f(x) вносим под знак диф-ала и пишем под знаком уже первообразную- метод интегрирования – внесение под знак диф-ала.

37. Таблица неопределённых интегралов.

46. Интегр по част и замена перем в неопр инт. Ф-я f(x) – непр диф-ма, если этф ф-я имеет непр производную. Т Если ф-и u=u(x) и v=v(x)- непр диф., то справедлива ф-ла ∫udv=uv-vdu Док-во: (uv)’=u’v+uv’ uv-первообр для u’v+uv’. ∫(u’v+uv’)dx=uv ∫vdu+ ∫udv=uv ∫udv=uv- ∫vdu Ч.т.д. ф-я непр-сущ-т интегралы. Зам-я: 1)не всякий интеграл можно вычислить методом интегр по частям. 2) С=const,к-я появляется при восстановлении ф-и V по ее дифференциалу- исчезает при дальнейшем интегрировании, поэтому сразу полагают:С₁=0. 3)При инт по ч. Подинтегральное выражение разбивается на 2 части: u и dv. 4) Сущ-т 3 класса ф-й интегрир по частям: 1 ∫P_n(x) | sinαxdx ∫P_n(x) | cosαxdx ∫P_n(x) | a^bxdx - u=P_n(x), dv={sinαxdx, cosαxdx, a^bxdx} 2 ∫log^k_ax | P_n(x)dx ∫(arc…x)^k | P_n(x)dx 3 ∫f(x) dx= φ(x)+λ∫f(x)dx, λ≠1 ∫f(x)dx =φ(x)/(1- λ)+C. Зам перем Т Если выполн усл: 1)Ф-я f(x) непр на нек пром Х, 2) Ф-я x=φ(t) – непрер-диф-ма на пром Т, 3)Эта ф-я имеет обратн ф-ю на пром t=h(x) 4) Когда t пробегает T, x пробегает X, то справедлива ф-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док-во: Равенство первообр, с точн до const. Докажем, что л. и п.ч. – первообр для одной ф-и: (∫f(x)dx)’=f(x) Вводим пром диф-е(восп Т о производн обр ф-и) (∫f[φ(t)]φ’(t)dt)’_x=(∫f[φ(t)]φ’(t)dt )’_t*t’_x=f[φ(t)]φ’(t)*1/φ’(t)dt=f[φ(t)]=f(x). С точн до const.

46. Нек свед о многочл. Комплексные числа. Интегрир элем дробей. Интегрир дробно-рац ф-й. х₀ –корень многочл P_n(x), если P_n(x₀)=0 Т1 Для того, чтобы х₀- явл корнем многочл P_n(x) – необх и дост чтобы P_n(x)=(x-x₀)Q_n-1(x). x₀-корень многочл кратности k, если многочл можно представить след образом: P_n(x)=(x-x₀)^kQ_n-k(x), где Q_n-k(x₀)≠0, х₀- не явл корнем Q_n-k(x). Т2 О разлож многочл на множ: Любой многочл с действ коэф-ми можно представить след образ: P_n(x), n≥1 (x-x₁)^S1(x-x₂)^S2…(x-x_e)^SE*(x²+p₁x+q₁)^K1(x²+p₂x+q₂)^K2…(x²+p_mx+q_m)^KM. x₁…x_e –корни P_n(x).s₁+…+s_e+2(k₁+…+k_m)=n Инт элем дроб 1. ∫Аdx/(х-а)=Аln|x-a|+C 2. ∫Adx/(x-a)^K=A(x-a)^-K+1/(- k+1) +C. 3. *{(x²+px+q)=(x+p/2)²+(4q-p²)/4} В числителе выделяем производную знаменателя. Уравнивать начинаем со старшей степени. Св-ва инвариантности.Выделяем полн квадр в знам. ∫(Mx+N)dx/(x²+px+q)=∫{(2x+p)(M/2)-pM/2+N}dx/(x²+px+q)=(M/2)∫d(x²+px+q)/(x²+px+q)+ (N-pM/2)*∫dx/{(x+p/2)²+(4q-p²)/4}=M/2*ln(x²+px+q)+(N-pM/2)/{2/√[4q-p²] *arctg(x+p/2)/ √[4q-p²]/2}+C= M/2*ln(x²+px+q)+(2N-pM/)/√[4q-p²] *arctg(2x+p)/√[4q-p²]+C 4. В числ выдел знам,выдел полн квадр ∫(Mx+N)dx/ (x²+p₁x+q₁)^K= ∫{(2x+p)*(M/2)-pM/2+N}dx/ (x²+p₁x+q₁)^K=(M/2) ∫d(x²+px+q)/ (x²+p₁x+q₁)^K+(N-pM/2)*∫dx/ (x²+p₁x+q₁)^K= (M/2)* (x²+p₁x+q₁) ^–K+1/(-k+1) +(N-pM/2) ∫dx/[(x+p/2)²+(4q-p²)/4]^K. Пусть е=x+p/2 a=(4q-p²)/4, тогда (M/2)*(x²+p₁x+q₁) ^–K+1/(-k+1) +(N-pM/2)* ∫dt/[t²+a²)]^K, ∫dt/t²+a²)^K=I_K. Выпис реккурентную ф-лу для записи этого интеграла. y_k=t/2a²/(k-1)(t²+a²)^k-1- (2k-3)/2a²(k-1)* ∫dt/[t²+a²)/]^K-1 I_K→I_K-1→I_K-2→… →I₁=∫dt/(t²+a²)= 1/a * arctg(t/a)+C. Все интегралы, по реккурентной ф-ле. ∫1й степ, потом от ∫2й, ∫3й.. Не считают сейчас - есть компьютеры. Дробно-рац ф-я – правильная – если степень числителя < знаменателя (n<m), в противном случае – неправильная. Если др-рац ф-я неправильная, то выделяем целую часть. P_n(x)/Q_m(x)=α_n-m(x)+R(x)/Q_m(x), R(x)-остаков от деления. Т О разложении дроб-рац ф-и на элемент. Всякую правильную дробно-рациональную ф-ю единственным образом можно представить в виде суммы элементарных дробей следующего вида: A₁/(x-x₁)+A₂/(x-x₁)²+… + A_K/(x-x₁)^K1+ (M₁x+N₁)/(x²+p₁x+q₁)+ (M₂x+N)/(x²+p₁x+q₁)+… (Т. о разлж многочл на множ, подобных членов быть не может). План интегрирования дроб-рац ф-и: 1) Проверяем- прав или неправ др-рац ф-я 2) Если неправильная, выделяем целую часть 3) Раскладываем знаменатель на линейные квадратичные множители 4) Находим коэффициэнты в разложении на простейшие дроби одним из след. методов: 1.Метод неопр. коэфф 2. Медот произв значений. 5) Подставляем найденные коэфф и интегрируем получ. Разложение на простые дроби.

46. Интегрир триг ф-й. Универс подст. Частн случ. Ф-я R(u,v) называется рациональной относительно u и v, если она получена в результате конечного числа арифметических действий. u=u(x), v=v(x) [tg⁵(x)-3sin*x]/[cos2x-2+sinx]=R(sinx,cosx) [√{sin²x-8} +cos2x]/tg³10x≠R(sinx,cosx) ∫R(sinx, cosx)dx 1. Универсальная подстановка t=tg(x/2) sinx=2sin(x/2)cos(x/2)/ [sin²(x/2)+cos²(x/2)] =2tg(x/2)/[tg2(x/2)+1] =2t/t²+1 cosx= [cos²(x/2)-sin²(x/2)]/ [cos²(x/2)+sin²(x/2)]= [1-tg²(x/2)]/[1+tg²(x/2)] =[1-t²]/[1+t²] x/2=arctg t x=2arctg t dx=2dt/[1+t²] ∫R(sinx,cosx)dx= ∫R(2t/1+t²; (1-t²)/(1+t²))2dt/(1+t²) = ∫R₁(t)dt Зам-е: не всегда удобноприменять универсальную подстановку, в ряде случаев она приводит к громоздким вычислениям. 2. 1) Один из множ – в нечетн степени. (сводим под знак диф, оставшуюся четную выражаем через другую) ∫sin^2k+1x cos^2mx dx= ∫(sin²x)^kcos^2mx sinx dx= -∫(1-cos²x)^kcos^2mx dcosx Далее по св-ву инвариантности. 2) Оба в четной степени, ф-лы пониж степени. ∫sin^2kx*cos^2mx dx={sin²x=(1-cos2x)/2; cos²x=(1+cos2x)/2}= ∫[(1-cos2x)/2]^K[(1+cos2x)/2]^mdx Разбивать на алг сумму интегралов. 3. ∫tg^2mxdx= ∫tg^2m-2x *tg²xdx= |tg²x=1/cos²x -1| =∫tg^2m-2x(1/cos²x-1)dx= ∫tg^2m-2x dtgx – ∫tg^2m-2xdx= tg^2m-1x /(2m-1) -∫tg^2m-4x tg²x dx… ∫ctg^2mx dx=∫ctg^2m-2x *ctg²xdx= |ctg²x=1/sin²x -1| =∫ctg^2m-2x(1/sin²x-1)dx= ∫ctg^2m-2x d(-ctgx) – ∫ctg^2m-2xdx= -ctg^2m-1x /(2m-1) -∫ctg^2m-4x ctg²x dx… 4. ∫tg^ax *dx/ cos^2mx= ∫tg^ax* 1/cos^2m-2x * dx/cos²x= ∫tg^ax(1/cos²x)^m-1dtgx= ∫tg^ax(1+tg²x)^m-1dtgx. ∫ctg^ax *dx/ sin^2mx= ∫ctg^ax* 1/sin^2m-2x * dx/sin²x= ∫ctg^ax(1/sin²x)^m-1d(-ctgx)= ∫ctg^ax(1+ctg²x)^m-1d(-ctgx)... 5. ∫sinax*cosbx dx ∫sinax*sinbx dx ∫cosax *cosbx dx {sins*cost= [sin(s+t)+sin(s-t)]/2; coss*cost= [cos(s+t)+cos(s-t)]/2; sins*sint= [cos(s-t)-cos(s+t)]/2} Зам-я частные случаи 1. и 2. можно обобщить 1) R(-sinx, cosx)= -R(sinx, cosx), t=cosx 2) R(sinx, -cosx)= -R(sinx, cosx), t=sinx 3) R(-sinx, -cosx)= R(sinx, cosx) t=tgx.

46. Интегрир нек-x иррац ф-й. Интегрир дифф. бинома. 1) Интегрир ф-и вида: ∫R (x, x^(r₁/s₁), x^(r₂/s₂), …, x^(r_n/s_n))dx= | HOK(s₁, s₂, …, s_n)=s; x=t^s; dx= st^S-1 dt| = ∫R₂(t)dt. 2) Условия: a,b,c,d=R(действ ч-ла) c²+d²≠0 ∫R(x; n^√[(ax+b)/cx+d])dx= | n^√[(ax+b)/cx+d]=t; [(ax+b)/cx+d]=t^n; ax+b=(cx+d)t^n; (a-ct^n)x=dt^n-b x=(dt^n-b)/(a-ct^n) dx= [dnt^(n-1) *(a-ctⁿ) -(-cnt^(n-1))*(dtⁿ-b)]dt/(a-ctⁿ); dx=nt^(n-1) *(ad-cdtⁿ+ cdtⁿ -bc)dt/(a-ctⁿ)2; dx=(ad-bc)nt^n-1 dt/(a-ctⁿ)²| = ∫R₃(t)dt 3) ∫R(x, √[a²-x²])dx x=a*cost (x=a*sint) ∫R(x, √[a²+x²])dx x=a*tgt (x=a*ctg t) ∫R(x, √[a²-x²])dx=(*) x=a/cost (x=a/sint) Триг замена. x=a/cost dx= -a(-sint)dt/ cos²t= a*sintdt/cos²t √[x²-a²]= √[a²/cos²t- a²]=a √[(1-cos²t)/cos²t]= a*tg t (*)=∫R(a/cost, a*tgt)*[a*sintdt/cos²t]= ∫R(sint, cost)dt Н-р, ∫√[a²-x²]dx= |x=a*cost dx= -a*sintdt √[a²-x²]= √[a²-a²cos²t]= a√[1-cos²t]= a*sint| = -∫a²sin²t* dt= -a²∫(1-cos2t)dt/2= -a²t/2+a²sin2t/2*2 +C = |cost=x/a sint=√[1-x²/a²]= √[a²-x²]/a sin2t=2sint*cost sin2t=2x√[a²-x²]/a² t=arcos(x/a)| = -a²/2*arcos(x/a)+ a²/4*2x√[a²-x²]/a²+ C= -a²/2* arcos(x/a)+ x√[a²-x²]/2+ C Зам-е: Интегралы вида ∫R(x, √[ax²+bx+c])dx можно привести к одному из следующих видов ∫R(t, √[d²-t²])dt ∫R(t, √d²+t²])dt ∫R(t, √[t²-d²])dt с помощью замен: a²+bx+c=a(x²+bx/a+ c/a)= a[(x+b/2a)²- b²/4a+c/a]= a[(x+b/2a)²+ (4ac-b²)/4a²] t²=(x+b/2a)² const=d²=(4ac-b²)/4a² Под √ +_t²+_d², может 4 случая, а есть 3, 4е не определено. Дифф бином - выраж след вида x^m(a+bxⁿ)^p, где a,b-действ ч-ла(R), m,n,p=Q(рац ч-ла – r/s). Интеграл берется в том случае: Т Чебыш Интеграл от диф бинома (∫x^m(a+bxⁿ)^pdx) вычисляется ч/з конечное число элементарных ф-й т. и т.т., когда выполняется одно из след условий: 1) p –целое(0 тож м.б.), то x=t^S, s-HOK знаменателей m и n; 2) (m+1)/n – целое, a+bxⁿ=t^S, где s-знаменатель p; 3) (m+1)/n+p – целое, то x+bxⁿ= t^Sxⁿ , где s- знаменатель p ; Во всех остальных случаях ∫ типа ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx не выражаются через известные элементарные ф-и, т.е. «не берутся».

46. Теор Чебыш. Дифф бином - выраж след вида x^m(a+bxⁿ)^p, где a,b-действ ч-ла(R), m,n,p=Q(рац ч-ла – r/s). Интеграл берется в том случае: Т Чебыш Интеграл от диф бинома (∫x^m(a+bxⁿ)^pdx) вычисляется ч/з конечное число элементарных ф-й т. и т.т., когда выполняется одно из след условий: 1) p –целое(0 тож м.б.), то x=t^S, s-HOK знаменателей m и n; 2) (m+1)/n – целое, a+bxⁿ=t^S, где s-знаменатель p; 3) (m+1)/n+p – целое, то x+bxⁿ= t^Sxⁿ , где s- знаменатель p ; Во всех остальных случаях ∫ типа ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx не выражаются через известные элементарные ф-и, т.е. «не берутся».

46. Зад о вычисл площ криволин трапец. Опред ∫ и св-ва. Усл сущ опр∫. Т о сред, её геом смысл. Пусть f(x) непр на [a,b] и f(x)>0 на [a,b]. Отрезок [a,b] разбиваем на n равных элементарных равных отрезков x₀=a, x₁, x₂,…x_K-1,x_K, x_N=b. [x_K-1, x_K] ξ, k=. ∆x_K=x_K-x_K-1 – длина отрезка. На кажд отрезке произвольн образом выбираем т. ξ_К[x_K-1,x_K] k=и вычисляемf(ξ_K). Криволин трапеция – называется плоская фигура, ограниченная кривой и прямыми x=a, x=b. f(ξ_K)*∆x_K – площадь прямоугольной с осн ∆x_K и высотой f(ξ_K). f(ξ₁)*∆x₁+ f(ξ₂)*∆x₂+… +f(ξ_N)*∆x_N= _K=1^NΣ f(ξ_K)*∆x_K За площадь криволинейной трапеции принимается предел этой суммы S_{КР. ТР}= lim_{∆x→0 K=1}^NΣ f(ξ_K)*∆x_K Зам-е: чем меньше разбиение отр [a,b] на элементарные, тем точнее площадь трапеции выраж. этой суммой. Понятие опред интеграла: f(x)-определена на [a,b], разбиваем [a,b] на (x₀=a, x₁, x₂… x_N=b), n- отрезков элементарных. [x_K-1, x_K], k=, Выбираем произв обратна на кажд отрезке т. ξ_К и вычисляем. f(ξ_K), k=, составляем произведение.f(ξ_K)*∆x_K и суммируем f(ξ₁)*∆x₁+ f(ξ₂)*∆x₂+ f(ξ_N)*∆x_N= _K=1^NΣ f(ξ_K)*∆x_K. (1) Сумма 1 – интегральная сумма для ф-и f(x) на отр [a,b]. Определенный интеграл – для f(x) на [a,b] – предел интегральной суммы (1) по всем k=если этот предел существует, конечный и не завист от способа разбиения на отр и и выбора точек ξ_К на элементарных отрезках. lim_{∆x→0 K=1}^NΣ f(ξ_K)*∆x_K и обозначается след образом: = lim_{∆x→0 K=1}^NΣ f(ξ_K)*∆x_K С геом т. зрения окрестность ∫ для ф-и f(x) на [a,b]=S _{КР. ТР.} Ограниченная кривой y=f(x), осью абсции и прямыми x=a, x=b. Ф-я f(x) – интегрируема на [a,b] если Т Необходимое усл сущ опр∫ Если ф-я интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на нем. М>0,x[a,b], |f(x)|<M. Т 1 дост усл сущ опр∫ Если ф-я f(x) непрер на отр [a,b], то она интегрируема на этом отрезке. Т 2 дост усл сущ опр∫ Если ф-я непр на отр [a,b] за исключением конечного числа т. разрыва I рода, то ф-я интегрируема на этом отрезке. Св-ва опр ∫ 1) 2)3)4)Интеграл не зависит от переменной интегрирования 5) Если ф-яf(x) и g(x) интегрир на [a,b], то их алг сумма f(x)g(x) интегрир на [a,b] и выполняется следующая ф-ла: 6) Если αR, f(x) – интегрир на [a,b], то ф-я αf(x) – инт на [a,b] и выполняется: 7) Если f(x) интегрир на [a,c], [c,b], [a,b], то , при любом взаимном расположении т. a,b,c. 8) Если ф-и f(x) и g(x) –интегрир на [a,b], причем f(x)≤g(x) на [a,b], то Следствие: Если f(x) инт на [a,b]и неотрицательна (неположительна) на [a,b], то интеграл ≥ 0 (≤0). 9) Еслиf(x) интегр на [a,b], то ||≤, |-f(x)|≤f(x) ≤|f(x)| 10) Т о среднем: Если ф-я f(x) непр на [a,b], то найдется такая т. ξ[a,b], что интеграл от ф-и f(x) на [a,b]: =f(ξ)(b-a) Док-во: (Т Вш о наим-наиб знач) По 2й Т Вейерштрассе ф-й непр на отр –ф-я f(x) – принимает наим(наиб) знач и лежит между ними. m≤f(x)≤M, где m-наим знач f(x) на [a,b], M – наиб знач f(x) [a,b]. По 8 св-ву: ≤≤По 6 св-ву:m≤≤M(1 св-во):m(b-a) ≤≤M(b-a), (b-a)>0- можем разделить на (b-a) m≤≤M Т для ф-й непр на отр(2я Т Больцано-Коши) т. ξ[a,b] такая что / (b-a)=f(ξ). =f(ξ)(b-a) Ч.т.д. Зам-е: св-ва 1-7 – св-ва, выраж равенствами, 8-9 – выраженные неравенствами, 10 – Т о среднем.

52. Произв опр ∫ с перем верхн пред. Пусть f(x) непр на [a,b],тогда F(x) – инт на этом отрезке. Рассмотрим: ,x [a,b], φ(x)=- ф-я от х- ф-я верхнего предела.Т Произв опр инт Если ф-я f(x) непр на [a,b], то ф-я φ(x)= - дифференцир на отр [a,b], причем ее производная= знач под∫ ф-и в т верхнего предела: ()’=f(x) Док-во: берем х[a,b] и фиксируем. ∆x≠0, (х+∆x)[a,b], φ(x+∆x)= (7 св-во опр ∫):+=, ∆φ(x)= φ(x+∆x)- φ(x), ∆φ(x)= , ∆φ/ ∆x=/∆x – Т о среднем. ∆φ/ ∆x=f(ξ)*(x+∆x-x), ∆φ/ ∆x=f(ξ)*∆x, ∆φ=f(ξ), ξ[x, x+∆x), lim_∆x→0 ∆φ/ ∆x=lim_∆x→0 f(ξ)= lim_{ξ →x}f(ξ)=f(x) Ч.т.д. lim_∆x→0∆φ/ ∆x=f(x) (2) lim_∆x→0∆φ/ ∆x=(φ(x))’ Ч.т.д.

52. Сущ первообр ф-и. Ф-ла Ньют-Лейбн (Т). Т о сущ первообр ф-и Если ф-я непр на отр [a,b] то она имеет первообразную. Док-во: Из Т о произв опред инт с переем верхн пред →ф-я имеет первообразную. ,х[a,b], Т доказана по опред первообр()’=f(x). Т Ньют-Лейбн: Если f(x) непр на [a,b], F(x) – одна из первообр для f(x) на [a,b], то =F(x)|^b_a= F(b)- F(a). Док-во: По Т о сущ первообр можно утверждать, что =F(x)+C. Пусть х=а, то =(0)=F(a)+C→ C=-F(a), =F(x)- F(a), пусть x=b, тогда =F(x)|^b_a= F(b)- F(a) Ч.т.д.

52. Интегрир по част и зам перем в опр ∫. Т Если ф-я u=u(x) и v=v(x) имеют непрерыв производн на [a,b], то = (uv)|^b_a –.Док-во: (uv)’=u’v+uv’ – первообр для uv. = (uv)|^b_a , +=(uv)|^b_a , = (uv)|^b_a –Ч.т.д.Т Зам переем в опр инт Если выполн след усл: 1) f(x) непр на [a,b] 2) x=φ(x) – имеет непр произв на [a,b]– ф-я непрывн-диф-ма 3) Когда t пробегает [α,β] x пробегает [a,b], причем φ(α)=a, φ(β)=b, то справедлива след ф-ла: =(*)Док-во: Лев. часть: =F(x)|^b_a= F(b)- F(a) (*), где F(x) – одна из первообр для f(x) на [a,b]. Докажем,что F[φ(t)] – первообр для прав части ф-лы. x= φ(t) (F[φ(t)])’=F’(x)* φ’(t)= f(x)* φ’(t)=f[φ(t)]* φ’(t) F-первообр для f. y=f(x), x= φ(t), y=f[φ(t)], f[φ(t)]=f’(x)*φ’(t) =F[φ(t)]|^β_α= F[φ(β)]-F[φ(α)]= F(b)-F(a) Ч.т.д. (Стоит поменять пределы инетегрирования, чтобы не возвращаться к старым переменным)

52. Прилож опр ∫. Вычисл площ плоск фигур в декарт, в полярн коорд и в случае, если крив зад парам. 1) Декарт сист коорд (СК): #! а) Геом смысл опр ∫. S_КР.ТР.= б)S=-в)S= -г)S_ABCD=S_ABD+ S_BDC Если плоск фигура не явл кривол трапец, то прямыми, коллинеарными оси ординат разбиваем ее на алг сумму криволин трап. S_ABD=-S_BDC= -S_ABCD=-+-(1 и 4 слагаемые по 7 св-ву опр ∫)S_ABCD=+-2) Зададим полюс – т.О и полярную ось ρ (начало отсчета) Самые простые фигуры в пол сист коорд. – луч, окружность с центром в полюсе и радиусом а. #! ρ –определяется однозначно 0 ≤ ρ<+∞ 0 ≤φ≤2π (-π ≤φ< π) φ- угол, если ρ-однозначно, то φ-не однозначно, с точностью до const=2πk, kZ (φ – м..б. )φ+2πk, kZ Установим связь между полярн и декартовыми координатами. Полюс совместим с нач коорд. т.О. Полярную ось ρнаправляем по полож направлению оси абсцисс. #! Ф-лы связи между декарт и полярн координатами: {x=ρcosφ; {y=ρsinφ . x²+y²=a² -ур-е окр-ти(в дек СК). ρ ²cos²φ+ ρ²sin²φ=a², ρ²=a², ρ=a –ур-е окр (в пол СК). ρ=√[x²+y²], tgφ=y/x (φ какой четверти)- ф-лы связи между пол и дек коорд. Криволин сектор – область пл-ти, огранич 2мя лучами и некоторой кривой. φ=α, φ=β #! Т Площадь кривол сект вычисл по ф-ле: S_КР.С= 1/2Если ф-я ρ(φ) непр. на [φ,β) Зам-е: Если обл-ть D не явл кривол сектором, то лучами, выходящими из полюса – разбиваем ее на алг сумму кривол секторов. #! S_D=1/2-1/2S_{ЭЛЛИПСА}=π*ab Задание фигуры парам видом Пусть aABb – фигура, AB=y=f(x), f(x): {x=φ(t); {y=ψ(t); t[α,β], S= ={x=φ(t),t[α,β]}= = {f[φ(t)]=ψ(t)=y}=,S=||Площадь плоск фигур Sтрехлепестковой розы. 1)sin(3φ+2π)=sin 3(φ+2π/3), 2π/3 – расст между лепестками. ρ≥0, sin3φ≥0, 0≤3φ≤π, 0≤φ≤π/3 – изменение угла для одного лепестка. S₁- ½ лепестка, S=6S₁ =6*½= 3/2= 3/2(φ|^π/6₀-1/6*sin6φ|^π/6₀)= 3/2*π/6=π/4 – площ всех 3 лепестков. Кардиоиды (D): полн исслед: {ρ=sin3φ; {ρ=1/2; (ρ≥1/2)-область Т. пересечения – пределы интегрирования. Кардиоиды: S=2S₁=2* ½= a² = πa²+a²/2 =πa²+a²/2* (φ+1/2*sin2φ)|^π₀= πa²+πa²/2= 3πa²/2

52. Вычисл V тел. V тел вращ. x₀=a₁x₁,…, x_K-1,…, x_n=b Разобъем на n отрезков [x_K-1, x_K], k=, ∆x=x_K-x_K-1, k=.max∆x=λ. Через получаем n элементарных тел. На каждом элементарном отрезке произвольным образом выбираем т.(ξ_K), ξ_K[x_K-1, x_K], k=. Площадь поперечного сечения ф-я от х меняется.S_СЕЧ=S(x), x[a,b], S(ξ_K); k=. Предлагаем, допускаем, чтоS(x) – непр на [a,b]. S(ξ_K), ∆x_K V_{ЭЛ.ТЕЛА}≈S(ξ_K)*∆x_K Объем цил. с осн S(ξ_K) и высотой ∆x_K. V_ТЕЛА=_k=1ⁿΣ V_{ЭЛ.ТЕЛА} Чем меньше разбиение, тем точнее объем тела. Это приближение тогда-точнее. За V тела принимается V_T= lim_{∆x→0 k=1}ⁿΣ S(ξ_K)*∆x_K , S –непрер ф-я (1) В прав части (1)-интегральная сумма для ф-и S(x) на [a,b] V_T= V тел вращ Предположим,что D вращ вокруг о.х. Сечение – круг. V_X= π, V_Y= π

52. Вычисл дл дуги крив в дек, пол коорд и в случ, если крив зад парам. Пусть на пл-ти задана незамкнутая, без т. самопересечения AB. Разобъем её точками. A=M₀, M₁, …, M_N=B на конечн число отрезков. Соед эти т. – получим ломанную ломанную вписанную кривую. Длину элем кривой - ∆l_K . l_ЛОМ≈ _k=1ⁿΣ ∆l_K За длину кривой AB принимаем предел длины ломанной. l_ЛОМ= lim_{∆x→0 k=1}ⁿΣ ∆l_K=AB существует, конечный и не зависит от способа разбиения кривой AB на элемент кривые. Зам-е: это определение нельзя применять в случае замнутой кривой. Для этого разбивают на конечное число незамкнутых кривых эту замкнутую, чтобы применить это определ. Крив AB спрямляемая, если имеет длину. Т1 Если f(x) имеет непр [a, b], то кривая AB, заданная ф-й причем её длина вычисляется по следующей ф-ле. l_АВ=T2 Если кривая AB заданна параметрически. {x=φ(t); {y=ψ(t); t[α,β]. Причем выполняются след условия 1) φ и ψ – непрер произв, 2) φ’(t)≠0 [α,β] 3) t прогает [α,β]→x пробегает [a,b] причем φ(α)=а, φ(β)=b, то кривая AB, спрямляемая, её длина вычисляется по след ф-ле: l_AB=||Т3 Если кривая АВ задана в полярной СК ρ= ρ(φ), [α,β], причем ρ’(φ) – непрер на [α,β], то кривая АВ – спрямяема и её длина вычисляется по ф-ле: l_AB=

52. Диф-ал длины дуги кривой, его геом смысл. Пусть кривая АВ на отрезке [a,b] задана ф-й y=f(x), к-я имеет непрер производн на указ промежутке. Тогда кривая АВ – спрямляемая, т.к. можно вычислить ее длину из-за существования ∫ и непрерывности производной. l_AM= =l(x) x[a,b], l’(x)=,l’(x)dx=dx, dl=√[dx²+dy²]. С геом т. зрения диф. Длины дуги кривой = гипотен прямоуг треугольника с катетами dx=∆x=const, dy=∆y=const, если точку зафиксировали.

52. Несобст ∫ 1 и 2 рода. При рассмотрении опр инт выполн условия:: под ∫ф-я ограничена. Распространим понятие опр ∫ на неогранич ф-ю и неогранич пром. Нес ∫1рода. Рассм f(x) непр на луче [a,+∞) На этом луче рассмотрим ∫. ,b[a,+ ∞), тогда F(b)-ф-я верхнего предела. Меняя b меняем интеграл. Нес ∫1 рода- предел интеграла от a до b, при b→+∞ не зависимо от того – сущ предел или нет и обозначается : lim_b→+∞=. Если этот предел существует и конечный, то нес ∫1 рода от а до +∞f(x)dx – сходящийся, в противном случае – расходящийся. Геом смысл: Пусть - сходится↔конечнlim_b→+∞=S=const, =S_КР.ТР., f(x)≥0 [a,b]. Устремим b→+∞ - бесконечн кривол трапец, площ к-й и равно S –геом смысл нес∫1рода. Если ∫расходится, то S не существует, т.к.она конечна. Пусть F(x) –первообр для f(x) на [a,b] =F(x)|_a^+∞= F(+∞)-F(a) – обобщенная ф-ла Ньют-Лейбн. Пусть ф-я f(x)-непр на луче от (-∞, b]. f(x) (-∞, b] Несобст ∫1рода – предел при а→ -∞ интеграла от а доbвf(x)dxнезавис от того – сущ предел или нет и обозначется: По опред:=lim_a→-∞. Если предел сущ и конечн – то сходящ, иначе – расходящ. Зам-е: рассм ∫выше – 1)нес ∫ с ∞ верхн пределом, 2) нес ∫ с ∞нижн пред. Еслиf(x) непр на всей числ прямой,то =+, где а – люб т. числ прямой. Если кажд из ∫пр. части сходится,то сходится и сам нес ∫_-∞^+∞ 1рода. Нес ∫2рода. Пусть f(x) –непр на полуинтервале и не ограничена на (b-ε, b) – лев окр-ти т.b. f(x) – неогр на (b-ε, b), если для M>0, x₀(b-ε, b), |f(x₀)|>M. lim_x→x0 f(x)=∞. В этом случае т. х₀ –особая т.ф-и f(x). Нес инт 2рода – ф-и f(x) на полуинтервале [a,b), где b -особая т. называется предел при ε→0 lim_ε→0, независимо от того – сущ предел или нет и обозначается:.lim_ε→0=. Если этот предел существует и конечн, то ∫сходится, иначе нес ∫2рода – расходится. Пустьf(x) – непр на (a,b]- полуинт и неогр на (a, a+ε). Нес ∫2рода наз-ся предел ε→0 от a+ε до b в f(x)dx. . Т.о. по опред:lim_ε→0=. Сходится- предел сущ и конечн, расх – бесконечн. Если ф-яf(x) имеет разрыв внутри отрезка [a,b] в нек т. с, то интеграл: =+

Инт несоб 1 рода

Исслед на сходимость: , αR,1)α=1= +∞ -нес инт расходится.2)α≠1=lim_{b→ +∞}=lim _{b→ +∞}(x^{1- α}/1-α)|₁^b=lim _{b→ +∞}[(b^{1- α}/1- α)-1/1- α] {1- α>0, α<1 – б.бS=+∞; {1-α<0, α>1 - , б.м.=0 –остатся константой - 1/α-1; , αR, {сход α>1, {расх α≤1

Инт несоб 2 родаИсслед на сход:,a=const, αR.1)α=1, а – особ т.= lim_ε→0(-ln|a-x|)|₀^a-ε= lim_ε→0(ln|a|- ln|ε|)= +∞ - нес инт 2 рода расход.2)α≠1=lim_ε→0[-(a-x)^1-α/(1-α)]|₀^a-ε =lim_ε→0[1/(α-1) -ε^1-α/(1-α)] {1/(α-1), если 1-α>0↔ α<1 –сход нес∫2рода;{∞, если 1-α<0↔ α >1 –расх нес∫2рода. a=const, αR, сходится α<1, расх α≥1.