9.Связь б.Б.Ф-й с б.М.Ф-ми.
Т1 Алг сумма б.б.ф-и и б.м.ф-и в т.х0-б.б.ф-я в т.х0.
Т2 Если ф-я f(x)-б.б в т.х0,то обратная ей ф-я 1/f(x)-б.м.в т.х0
Т3 Если
α(x)-б.м. ф-я [α(x)=
x→x0,
α(x)≠0,
],то
1/α(x)-обр ф-я-б.б. вx→x0.
Зам-е: Т.справедливы и при х→∞
Сравнение б.б.ф-й. Предел рац-й ф-и.
Ф-я f(x)
наз-ся б.б.более высокого порядка,чем
g(x)
в т.х0,если
limx→x0
.
Ф-я f(x)
и g(x)
наз-ся б.б. одного порядка в т.х0,если
limx→x0
Целая
рац.ф-й-многочлен
Pn(x)=a0xn+
a1xn-1+…+
an-1x+an,где
аi
R,i=
Исследуем ее поведение в
бесконечности: limx→∞Pn(x)=limx→∞xn(
)=limx→∞a0xn.
Предел цел.рац.ф-и зависит от знака
старш.коэффициента а0
и знака ∞,к к-й стремится х.
Дробно-рац.ф-я-(отношение многочленов)
ф-я вида:Pn(x)/Qm(x),гдеPn(x)=a0xn+
a1xn-1+…+
an-1x+an,
Qm(x)=b0xm+
b1xm-1+…+
bm-1x+bm,
Рассм. предел др-рац.ф-и в ∞:limx→∞
=lim
x→∞
.
Правила многочленов: limx→∞
=
Ф-и, непрер. в т. Т: об уст.знака непр.ф-и, об арифм.д-ях над непр.ф-ми.
f(x)-непр.
в т.х0,если
предел этой ф-и в т.х0=значению
этой ф-и в т.х0.
limx→x0f(x)=f(x0)
(f(x)-непр.
в х0)
.Т.е.
б.м. приращению аргумента соотв. Б.м.
приращение ф-и.Зам-е
Необходимо выполнение 3х условий:1)ф-я
определена в нек. ок-ти х0
и в самой т.х0.
2)
limx→x0f(x)
в этой т. 3)limx→x0f(x)=f(x0)
Т.
«необх
и дост усл непр.ф-и в т.х0»
Для того,чтобы ф-я f(x)
была непр. в т.х0
необх и дост,чтобы ф-ю f(x)
можно было представить в виде:
f(x)=f(x0)+
x→x0.Зам-еПредставление ф-и в виде –
асимптотическое разложение ф-и непр в
т.,гдеf(x0)
– главня частая разложения.
Т1.
об уст.знака непр.ф-и:
Если f(x)
непр.в т.х0,
то найдется окр-ть т.х0
в к-й f(x)
– будет такого же знака. f(x0)>0(<0),
δ(х0):f(x)>0(<0).Док-во:
Возьмем сколь угодно малое ε и фиксируем.1)
f(x)непр
в х0,f(x0)>0
0<f(x0)/2<f(x)<3/2*f(x0) 2) f(x0)<0 ε1=f(x0)/2 … -3/2*f(x0)<f(x)<-f(x0)/2<0
T2.
об
арифм.д-ях
над непр.ф-ми
Если f(x)
и g(x)-непр.в
х0,то
1.f(x)
g(x)-непр.
в х0,
2.
f(x)•g(x)-непр.
в.,
3.f(x)/g(x)-непр.,если
g(x)≠0.
Следствия
1)1.Т2-справедлива для люб. Конечного
числа слагаемых. 2)2.Т2-справедлива для
люб. кон. ч-ла сомножителей.
Суперпозиц. ф-й. Т: о переходе к lim под знаком непр.ф-и, о непрер-ти слож. ф-и.
А,В,С-рассм.
множества.x
A,
u
B,y
C.
Дано соответствие: φ: A→B
u=φ(x);
f:
B→C
y=f(u);
F:
A→C
x=F(x)=f[φ(x)].
F(x)-
сложная ф-я=суперпозиции ф-й φ и f.
F=φ*f-суперпозиция.
Т
о переходе к lim
под знаком непр.ф-и
Если ф-я u=φ(х)
имеет предел в т.х0=А
и ф-я y=f(u)-непр.в
т.х0,то
сложн.ф-я y=f[φ(u)]=F(x)
имеет предел в т.х0,
причем limx→x0f[φ(x)]=limu→Af(u)=f[limx→x0φ(x)]=f(A).
(Т3Позволяет
делать замену переменной под знаком
предела, можем влезать под знак
непрерывного пространства и вычислять
пределы) Н-р, limx→x0
,
limx→x0lncos3x=lncos3x0.
Т о непрер-ти слож. ф-и Если ф-я u= φ(x) непр в х0, ф-я y=f(u)-непр в u0=φ(x0), то сложная ф-я y=f[φ(x)]-непр в т.х0.
Непрерывность элементарных функций. Основные элементарные ф-и: y=C=const, y=xn, n
N(нат.ч),
y=
(x≥0),
полагаем
,
х<0.y=xα,α
R-обобщенная
степенная ф-я, y=ax,
y=logax,
y=sinx,
y=cosx,
y=tgx,
y=ctgx
(y=arc…).
Элем.ф-я-ф-я,полученная
из основных элем.ф-й с помощью конечного
числа арифмю действий и конечного числа
суперпозиций.y=√x2=|x|,
y=2coslnx-5x
-элем.ф-и y={1,x≥0(ф-я
Хебисайда){0,x<0
–не явл.элем.ф-ей. х0-внутренняя
т.области D,если
принадлежит этой области вместе со
своей окрестность. Если часть окр-ти
не принадлежит,то т-граничная этой
области.
Т5 Всякая элем.ф-я непрерывна в каждой внутренней области т.D.
Степ-показ-я ф-я и ее lim.
Ф-я вида u(x)v(x), u(x)>0 – степенно-показательная. Т1 Если предел основания=А,предел показателя степени=В,то limx→x0u(x)v(x)=AB. Док-во limx→x0u(x)v(x)=lim e^v(x)lnu(x)=e^limv(x)lnU(x)= e^limv(x)*lim lnU(x)= e^limv(x)ln(lim)U(x)=e^B*ln A=e^lnA^B=AB. Т2 Если предел основания u(x) в x0=1б пред. показателя v(x)=∞, тоlimu(x)v(x)=(1∞)=e^limv(x)[u(x)-1] Док-во limu(x)v(x)=(1∞)=lim{[1+(u(x)-1)]^1/(u(x)-1)}^v(x)[u(x)-1]=e^limv(x)[u(x)-1]. Зам-я 1)Пусть предел основания А>1,тогда a)если В=+∞ степ-пок ф-я им.limx→x0u(x)v(x)=+∞ б) В=-∞limx→x0u(x)v(x)=0, 2)Если 0<A<1 а)В=+∞limx→x0u(x)v(x)=0 б)В=-∞limx→x0u(x)v(x).