3.Класс огр.Ф-й и их св-ва

Ф-я f(x) – ограничена в окрестности т.х₀,если существует сколь угодно малое положительное число δ,что как только все х удовлетворяют нер-ву 0<|x-x₀|<δ,то |f(x)|<M

(f(x)_х→хо-огранич.)

Ф-я f(x) – ограничена в бесконечности (х→∞),если найдется сколь угодно большое положительное числоN,что как только все х удовлетворяют нер-ву |x|>N,то |f(x)|<M

(f(x)_х→∞-огранич.)

Свойства огр ф-й

1.Если f(x) иg(x) ограничены в окрестности т.х₀,то их алгебраическая сумма ограничена в окрестности т.х₀Док-во:

(f(x)_х→хо-огранич.)

(g(x)_х→хо-огранич.)

min(δ₁,δ₂)=δ, |f(x)+g(x)|≤ |f(x)|+|g(x)|<M₁+M₂,M₁+M₂=MЧ.т.д. (δ>0,М>0,что прих удовлетвор. нер-ву 0<|x-x₀|<δ, то |f(x)+g(x)|<M, х→х_о) По определению это означает, что |f(x)+g(x)|ограничен в окрестности т.х₀Ч.т.д

2.Если f(x) иg(x) ограничены в окрестности т.х₀,то их произведение ограничено в окрестности т.х₀Док-во:

(f(x)_х→хо-огранич.)

(g(x)_х→хо-огранич.)

min(δ₁,δ₂)=δ, |f(x)•g(x)|≤ |f(x)|•|g(x)|<M₁•M₂,M₁•M₂=MЧ.т.д. (δ>0,М>0,что прих удовлетвор. нер-ву 0<|x-x₀|<δ, то |f(x)•g(x)|<M, х→х_о) По определению это означает, что |f(x)•g(x)|ограничен в окрестности т.х₀Ч.т.д

Зам-я 1)св-ва ф-и справедливы и для х→хо; 2)Если говорят,что ф-я f(x) ограничена в т.х₀(х→х₀),то пишут:f(x)_х→хо; 3)Св-ва можно записать используя знак огр ф-и_х→хо;4)Класс ограниченных ф-й замкнут по отношению к операциям сложения и умножения.

4. Класс б.М.Ф-й и их св-ва

Ф-я α(х)-бесконечно малая в т.х₀,если предел ф-и в этой точке равен 0.lim_х→хоα(x)=0

(lim_х→хоα(x)=0)(Б.м.ф-и принято обозначать малыми греческими буквами)

Св-ва б.м. ф-й:

1.Алг. сумма б.м. ф-й в т.х₀есть б.м. ф-я в этой т.Док-во α(x) и β(х) – б.м.при х→хо,

(lim_х→хоα(x)=0),(lim_х→хоβ(x)=0)

δ=min(δ₁,δ₂),ε>0,δ>0, |α(x)+β(x)|≤ |α(x)|+|β(x)|<(ε/2+ ε/2)=ε

δ=min(δ₁,δ₂),x: 0<|x-x₀|<δ,|α(x)+β(x)|<ε По определению получили – ф-я б.м.(то же и для разности)

2.Произведение б.м. ф-й в т.х₀есть б.м.ф-я в этой т.Док-воα(x) и β(х) – б.м.при х→хо,

(lim_х→хоα(x)=0), (lim_х→хоβ(x)=0)

δ=min(δ₁,δ₂),ε>0,δ>0, |α(x)•β(x)|≤ |α(x)| •|β(x)|<(ε/2•ε/2)=1/4*ε²

δ=min(δ₁,δ₂),x:0<|x-x₀|<δ, |α(x)•β(x)|<1/4*ε²По определению получили–ф-я б.м.(то же и для частности)

3.Еслиα(x) – б.м. ф-я в т.х₀,то она является ограниченной в окрестности этой т.Док-во

На основании необходимого условия существования предела ф-и в т.Ф-я ограниченна в окр-ти т.Ч.т.д.

Зам-яФ-я б.м.:α(x)_х→хо. И тогда можно записать свойства помощью этих обозначений. Класс б.м. ф-й в т.х₀-замкнут по отношению к операциям сложения и умножения. В классе б.м.ф-й в т.х₀есть единственная константа=0.

5.Связь б.М. Ф-й с огр. Ф-ми.

Т1Алг сумма б.м.ф-и и огр. ф-и в окрестности этой т. есть ф-я ограниченная в окр-ти т.х₀

Док-во1способ)α(x) – б.м. ф-я в т.х→хоf(x) – огр.ф-я в т.х→хо

(lim_х→хоα(x)=0)

(f(x)_х→хо-огранич.)

По 3му св-ву огр.ф-й и потом по 1 св-ву сумма огр.ф-й. |α(x)+f(x)|≤|α(x)|+|f(x)|<(1+M)=M₁

Наим из окр-тей: min(δ₁,δ₂)=δ, 0<|x-x₀|<δ |α(x)+f(x)|<M₁– ф-я ограниченная в окрестности т.х₀

2 способ) 3 св-во б.м. ф-и и 1 огр.ф-и

Т2Еслиα(x)-б.м. ф-я в т.х₀,f(x) – огр.ф-я то их произведение б.м.ф-я в т.х₀. |α(x)|•|f(x)|-б.м. ф-я х→х_о.

Док-во1способ)α(x) – б.м. ф-я в т.х→хоf(x) – огр.ф-я в т.х→хо (lim_х→хоα(x)=0)

(f(x)_х→хо-огранич.)

|α(x)•f(x)|<ε, |α(x)•f(x)|=|α(x)|•|f(x)| <ε/М*М=ε

min(δ₁,δ₂)=δ₂, 0<|x-x₀|<δ |α(x)|•|f(x)|<ε – по опр. ф-я б.м. в т.х₀