Пример экзаменационного билета:

1)Связь бесконечно больших функций с бесконечно малыми функциями.

2} Инвариантность дифференциалов первого порядка,

3)Пример из темы «Исследование функций» или «Интегрирование функций»:

а)Исследовать на экстремумы функцию у =х³(х-1)² ;

б) Вычислить интеграл ∫(2х² – 3)cos 3x dx .

Экзаменационные вопросы по курсу «Математика»

1.Предел ф-и в т. И в бесконечности.

Окрестностью т.х₀называется любой интервал,содержащий т.х₀.δ–окрестности–интервал (х₀-δ,х₀+δ)=δ(х₀). Проколотой δ–окрестности наз-ся δ окрестность т.х₀ без самой т.х₀–интервал (х₀-δ, х₀)u(х₀,х₀+δ) и обозначается δ(х₀).y=f(x)D(y) х₀

Число А – предел ф-и f(x) в т. х₀,если для любого сколь угодно малого положительного ε найдется сколь угодно малое положительное число δ,что как только все х удовлетворяющие неравенству 0<|x-x₀|<δ, то |f(x)-А|<ε. Записывают этоlim_х→хоf(x)=A. (на «языке последовательностей»,по Гейне). (на языке ε-δ, по Коши):

(lim_x→x0f(x)=A)

Геометрический смыслlim_х→хоf(x)=A, если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точкиx₀,что для всех х≠х₀из этой δ-окрестности соответствующие значения функции лежат в ε-окрестности точки А. Точки графика ф-иy=f(x) лежат внутри полосы шириной 2ε,ограниченной прямыми у=А+ε, у=А-ε.Величина δ зависит от выбора ε,поэтому пишут δ=δ(ε).

Число А – предел ф-и f(x) х→∞,если для любого ε>0 существует сколь угодно большое положительное число М=М(ε)>0,что как только все х удовлетворяющие неравенству |x|>М, то |f(x)-А|<ε. Записывают это (lim_x→∞f(x)=A)

ТО единственности предела ф-и в т.Если ф-я имеет предел в т.,то он единственный.

2.Теоремы о пределах ф-й:

а)необходимое условие существования предела ф-и в точке

Если ф-я f(x) имеет предел в т.х₀, то она ограничена в окрестности этой точки.Док-во

(lim_х→хоf(x)=A)↔(ε>0,δ>0,δ=δ(ε),x:0<|x-x₀|<δ→|f(x)-А|<ε), |f(x)|-|А|≤|f(x)-А|<1, |f(x)|-|А|<1, |f(x)|<1+|А|, 1+|А|=М.М=1+|А|>0,δ>0,x:0<|x-x₀|<δ, |f(x)|<Mf(x)-огр х→хо Ч.т.д.

Зам-е: теорема дает лишь необходимое условие существования предела в т,из того,что ф-я огр. в окр-ти т. еще не следует,что она имеет предел в этой т.(Контрпример – y=sin(1/x), х→0)

б)асимптотическое разложение функции, имеющей предел(критерий существования предела ф-и в т.) Для того, чтобы ф-я имела предел в т.х₀=А необходимо и достаточно,чтобы эту ф-ю можно было представить в виде (const+б.м.):f(x)=A+_х→хо

Док-во:Необх-ть lim_x→x0f(x)=Af(x)-A=α(x)lim_x→x0α(x)-?limα(x)=lim(f(x)-A)=limf(x)-limA=A-A=0,limα(x)=0→α(x)-б.м.ф-я.,α(x)_x→x0,f(x)-A=,f(x)=A+_x→x0 Ч.т.д.Дост-ть f(x)=A+,limf(x)=lim(A+)=lim,A+lim=A+0=AЧ.т.д.Зам-еПредставление ф-и в видеf(x)=A+- асимптотическое разложение ф-и имеющ.limв т.

в)о пределе постоянной величины Т:Для ф-и сохраняющей постоянное значение на всем отрезве предел в любой т. отрезка равен этой постоянной величине.Док-воf(x)=C=const.x€[a,b],lim_x→x0­C=Cx₀€[a,b] Выберем любоеε>0,фиксируем,тогда сущ δ=δ(ε) х: 0<|x-x₀|<δ |C-C|<ε,0<ε Достаточно выбрать δ сколь угодно малое, чтобы теор.выполнялась.

г)о пределе суммы,разности,произведения и частного ф-йЕсли ф-яf(x) имеет предел в т.х₀,g(x)- имеет предел в т.х₀.1 Ф-я равная алг сумме этих ф-й имеет предел в т.х₀,причем предел алг.суммы будет равен алг сумме пределов этой ф-и.f(x)g(x).lim_x→x0[f(x)g(x)]=lim _x→x0f(x)lim _x→x0g(x)2Ф-я равная производной этой ф-и имеет предел в т.х₀причем справедлива следующая ф-лаf(x)•g(x)lim_x→x0[f(x)•g(x)]=lim _x→x0f(x)•lim_x→x0g(x)3Ф-я равная отношению(частному) этих ф-й будет иметь предел в т.х₀,предел знаменателя отличен от 0.lim_x→x0g(x)≠0.lim_x→x0[f(x)/g(x)]=lim _x→x0f(x)/lim_x→x0g(x).Теорема дает лишь достаточное условия существования предела +,• и частного ф-й в т., т.е. если не существует предел хотя бы одной из ф-й в т. нельзя утверждать,что не существует предел +,•,/. Н-р,f(x)=x,g(x)=sin(1/x) Предел произведения – предел б.м.=0.Разность и сумма тоже – предел=х.

д)о сохранении знака ф-и, имеющей предел: Если ф-яf(x) имеет предел в т.х₀равный А,и ф-яf(x)≥0 в нек проколотой окрестности этой точки,то и предел А≥0.Док-воf(x) ≥0,(x₀), А≥0. (от противного) ПустьA<0.Знаем,что ф-я имеет предел.(lim_x→x0f(x)=A).Ф-я не отрицательна предположили, что А<0. |f(x)-А|=||f(x)|+|А||=|f(x)|+|A|min(δ₁,δ)=δ₂.|f(x)-А|>|A|-по этой оценке.Пришли к противоречиюсравнив нер-ва, из-за предположения А<0→А≥0

е)о переходе к пределу в неравенствах Еслиf(x) имеет предел в т.х₀равный А иg(x) имеет предел в т.х₀равныйB,то еслиf(x)≤g(x) в(х₀),то и А≤В.Док-во(мет.от пр.) Пусть А>В,А-В=h,h>0.(lim_x→x0 f(x)=A)

A-h/3<f(x)<A+h/3 (1)

(lim_x→x0 f(x)=B)

B-h/3<f(x)<B+h/3 (2), min(δ_1,δ₂,δ)=δ₃, f(x)≤g(x) A-h/3<f(x), g(x)<B+h/3, A=B+h, B+h-h/3<B+h/3, h/3<0. Ошибка в предположении А≤В.

ж)о пределе промежуточной ф-и Еслиf(x) имеет предел в т х₀=А,g(x) имеет предел в т.х₀=А, причемf(x)≤φ(x)≤g(x) в проколотой окр. т. х₀, то и ф-я φ(x) имеет предел=А.Док-во (lim_x→x0f(x)=A)

A-ε<f(x)<A+ε(*) (lim_x→x0g(x)=A),A-ε<g(x)<A+ε(#)f(x)≤φ(x)≤g(x)(x₀), из *# → А-ε<f(x)≤φ(x)≤g(x)<A+εmin(δ₁,δ₂,δ)=δ₃(lim_x→x0φ(x)=A) Ч.т.д