Дифференциал
Пусть задана функция y = f(x) на (a,b). Точка x0 (a,b). Придадим аргументу x в
точке x0 некоторое приращение x, тогда
функция получает соответствующее приращение
y = f(x0 + x) - f(x0)
y будем так же называть полным приращением функции, соответствующим приращению x.
1
Определение 1. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если полное приращение представимо в следующем виде:
y = P x + ( x) x, где: P = const, ( x) 0.
x 0
2
Пример
Исследовать на дифференцируемость в точке x0 функцию f (x) = 4x2 – x + 8.
Решение
D( f ) = R.
y = f (x0 + x) – f (x0) =
=4(x0 + x)2 - (x0 + x) +8 – 4x02 + x0 – 8 =
=4x02 + 8x0 x + 4 x2 – x0 – x – 4x02 + x0 =
=(8x0 – 1) x + 4 x x.
( x) = 4 x, P = 8x0 – 1 = f (x0). |
|
|
|
Следовательно, |
функция |
f |
(x) |
дифференцируема в точке x . |
3 |
|
Определение 2. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если она в этой
точке имеет производную f (x0).
Теорема (о равносильности двух определений дифференцируемой функции)
Определения 1 и 2 равносильны. Иными словами, функция y = f(x) имеет производную в точке x0 тогда и только тогда, когда полное
приращение y, соответствующее приращениюx аргумента x в точке x0 представимо в виде:
y = P x + ( x) x, где: P = const, ( x) 0.
4
x 0
Доказательство
Необходимость. Дано: f (x). Надо доказать:
y = P x + ( x) x, где: P = const, ( x) 0.
x 0
Пусть существует f (x0) и мы знаем, что это есть: |
||||
lim |
y |
|
y f х х |
|
x |
|
x |
0 |
|
f (x0) = х 0 |
|
|
||
где: ( x) 0.
x 0
y = f (x0) x + ( x) x, |
где: ( x) 0. |
x 0 |
5 |
Достаточность. Дано: y = P x + ( x) x. Надо доказать: существование f (x).
Пусть : y = P x + ( x) x, где: P = const, ( x) 0.
x 0
Разделим на x:
x 0
y/ x = P + ( x), где: ( x) 0.
Таким образом, функция представима в виде |
|
|
|||||
константы и бесконечно малой величины, таким |
|
||||||
образом, по теореме об асимптотическом |
|
|
|
||||
lim |
y |
P |
lim |
y |
f |
|
|
x |
x |
x0 |
|||||
разложении): х 0 |
|
, а значит х 0 |
|
|
|
||
существует f (x0) = P. |
|
|
|
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Исходя из предыдущего, можно сказать, что f (x) дифференцируема в точке x0, если:
y = f (x0) x + ( x) x, где: ( x) 0. Ч.т.д.
x 0
I II
Первое слагаемое правой части I называется главной частью полного приращения y, оно содержит главную информацию о полном приращении. Второе слагаемое II мало влияет на y.
7
Определение 3. Главная часть полного приращения функции y линейная относительно приращения аргумента x (а именно: f (x0) x)
называется дифференциалом этой функции в
точке x0.
Обозначается dy = df(x0).
Таким образом, dy = f (x0) x – переменная
величина: различным x соответствуют различные значения дифференциала dy.
8
Определение 4. Дифференциалом аргумента x в точке x0 называется его приращение x, т.е. по
определению dx = x.
Это определение оправдывается следующим. Рассмотрим функцию f(x) = x.
Дифференциал ее:
dy = df(x) = f (x) x = 1 x = x, т. е.: dy = dx =
x.
Действительно dx = x.
9
Перефразируем формулу для дифференциала следующим образом:
dy = f (x0) dx, где x0 - произвольная точка.
dy
Отсюда: f (x0) =dx производная есть
отношение таких дифференциалов.
Тем самым оправдывается определение: dy y
dx = x .
10