Общая физика. Оптика / Ответы на вопросы / Закон полного тока для магнитного поля в вакууме

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме:

Линии магнитной индукции представляют собой окружности, плоскости которых  проводнику, а центры лежат на его оси. Найдём циркуляцию вектора B вдоль произвольной линии магнитной индукции – окружности радиуса r: B dl= B dlcos(B, dl). Во всех точках линии индукции вектор B равен по модулю: B=(₀/4)(2I/r) и направлен по касательной к этой линии, так что cos(B, dl)=l. =>

B dl=(₀/2)(I/r)^2r₀ dl=₀I [1]. Выводы: а) магн.

поле прямолинейного тока – вихревое, т. к. в нём циркуляция вектора B вдоль линии магнитной индукции и равна произведению магнитной индукции  0. б) циркуляция вектора B поля прямолинейного тока в вакууме одинаковая вдоль всех линий магнитной и равна произведению магнитной постоянной на силу тока.

Т. о. нами доказано, что формула [1] справедлива для любого замкнутого контура, охватывающего проводник, независимо от формы этого контура. Предположим теперь, что замкнутый контур L₁ не охватывает проводник с током (рис.2). Тогда:

B dl=_1–a–2B dl+_2–a–1B dl, где 1–a–2 и 2–b–1–

участки контура L₁. => [2]

циркуляция вектора магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающе­го этот проводник, равна нулю. В общем случае магнитное поле может создавать целая система из n проводников с токами I₁, I₂, ..., I_n'. Обозначим B_i индук­цию магнитного поля в вакууме одного i-гo проводника с током I_i. Индукция результирующего магнитного поля, согласно принципу суперпозиции, B= ^n'B_i. Циркуляция вектора В вдоль произ­вольного

замкнутого контура L, проведен­ного в поле, равна ( =§_(L)): §_(L)=Bdl=§_(L)(B_i)dl=§_(L)(B_i dl) =§_(L)B_idl.

В соответствии с [1] и [2] получим §_(L)B_idl={₀I_i (L охватывает ток I_i), 0 (L не охватывает ток I_i). => §_(L)B_idl=₀ⁿ_k=1I_k=₀I_охв [3], где n – число проводников с током, охваты­ваемых контуром L (nn'), а индекс суммирования i заменен на k для того, чтобы показать, что в сумму, стоящую в [3], входят только те токи, которые охватывают­ся контуром L. Уравнение [3] явл. математическим выражением закона полно­го тока для магнитного поля в вакууме: циркуляция магнитной индукции поля в вакууме вдоль произвольного замкнутого контура L рав­на произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром (т. е. на электрический ток через поверхность S, натянутую на этот контур): §_(L)B_idl=₀_(S) j dS, где j – плотность тока в пределах малого элемента dS поверхности S, натянутой на контур L, а вектор dS направлен по норма­ли к площадке dS так, что из его конца обход контура L виден происходящим про­тив часовой стрелки. Тороидом наз. кольцевая катушка с током, витки которой намотаны на сердеч­ник, имеющий форму тора (рис.). Ес­ли витки расположены вплотную или очень близко друг к другу, то тороид можно приближенно рассматривать как систему боль­шого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, цент­ры которых лежат на средней линии торои­да, а плоскости ортогональны ей. Легко видеть, что линии магнитной индукции поля тороида имеют вид концентрических окруж­ностей радиуса r, центры которых лежат на оси тороида. Во всех точках замкнутого контура L, совпадающего с какой-либо из линий магнитной индукции поля тороида, модуль вектора В одинаков, так что §_(L)Bdl=2rB. Если r>R или r<R₂, то I_охв=0 и B=0, т. е. магнитное поле локализовано внутри тороида. Для контура L радиуса R₂<r<R₁ ток I_охв=NI, где N – число витков обмотки тороида, а I – сила тока в ней. Поэтому внутри тороида с немагнитным сердечником, близким по своим магнитным свойствам к вакууму,

B=₀NI /(2r). В случае тонкого тороида диаметр витков d=R₁–R₂ мал по сравнению с радиу­сом средней линии R_ср=(R₁+R₂)/2 и в пределах площади витка магнитное поле тороида можно приближенно считать одно­родным: BB_ср=₀NI /(2R_ср)=₀nI, где n – число витков обмотки тороида, при­ходящихся на единицу длины его средней линии. Если неограниченно увеличивать R_сp, сохраняя неизменными диаметр d витков и плотность n их навивки, то в пределе получится бесконечно длинный соленоид. Поле внутри такого соленоида однородно, так как всюду векторы В одинаково на­правлены и равны по модулю: В=₀nI.