Общая физика. Оптика / Ответы на вопросы / 5 Примеры расчёта полей

К билету № 4:

Пример №1:Поле заряда q, равномерно распределенного по поверхности сферы радиуса R с поверхностной плотностью =q/(4nR²). Система зарядов и, =>, само поле центрально-симметричны относительно центра О сферы. Вектор напряженности поля имеет толь­ко радиальную составляющую: E=Е_rr/r, где r – радиус-вектор, проведенный из центра О сферы в рассматриваемую точку поля; Е_r – проекция вектора Е на радиус-вектор r, одинаковая во всех точках, равноудаленных от центра О. Поэтому за гауссову поверхность S берём сферу ради­уса r с центром в точке О. Тогда §_(S)E dS=§_(S)E_r dS=E_r^4r2₀ dS=E_r4r². Если rR, то q_охв=q и, по теореме Остроградского-Гаусса, E_r=q/4₀r²=R²/₀R². Если r<R, то q_охв=0 и E_r=0, т. е. внутри заряженной сферы поля нет. Потенциал поля  найдем из формулы связи между потенциалом и напряженностью поля: E_r=–d/dr. Полагая lim_r=0, по­лучаем, что потенциал поля вне сферы равен =–^r_qdr/4r²r²=q/4₀r². Из E_r и  видно, что вне заряжен­ной сферы радиуса R поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, так что потенциал всюду одинаков и такой же, как на её поверхности: =q/4₀R=R/₀. Графики зависимостей Е_r и  от r для случая, когда >0 (рис.1). Пример №2: Поле заряда q, равномерно распределенного в вакууме по объему шара радиуса R с объемной плотностью p=3q/(4R³). Центр шара О явл. центром симметрии поля. Поэтому для гауссовой поверхности S в ви­де сферы радиуса r с центром в точке О: §_(S)E dS=E_r4r², E_r – проекция вектора Е на радиус-вектор r, проведенный из точки О в рассматриваемую точ­ку поля; Е=Е_r= Е­_rr/r. Связь потенциала  с Е имеет вид Е_r=–d/dr. Если rR, то q_охв=q и E_r=q/4₀r², =q/4₀r. В частности, при r=R E_r(R)=q/4₀R²=pR/3₀, (R)=q/4₀R=pR²/3₀. Если r<R, то q_охв=4/3r³p=qr³/R³ и E_r=qr/4₀R³=pr/3₀. Из связи между  и E =>, что для r<R: =(R)^r_RE_rdr, так что =pR²/3₀+p/6₀(R²–r²). Графики зависимостей E_r и от  от r для случая, когда p>0 (рис.2).