Общая физика. Оптика / Ответы на вопросы / 5а Примеры расчёта полей

К билету № 5:

Пример №1: поле заряда, равномерно распределенного с объемной плотностью р по объему кругового цилиндра, радиус R которого во много раз меньше длины l образующей. Вдали от концов заряженного цилиндра и на расстояниях r1 от его оси OO' поле можно считать осесимметричным – векторы Е направлены  оси OO' и радиально от неё (если р>0) или к ней (если р<0). Выбирая гауссову поверхность S получим, что в области поля, где rR, q_охв=рr²H, так что E_r=pr/2₀, =–pr²/4₀. В частности, при r=R: E_r(R)=pR/2₀, (R)=–pR²/4₀. В области поля, где rR, q_охв=pR²H и E_r=pR²/2₀r. Потенциал поля

=(R)–^r_RE_rdr=–pR²/4₀(1+2ln(r/R)). Графики при p>0 (рис.). Пример №2: поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью  по плоскости. Эта плоскость (x=0) явл. плоскостью симметрии поля, векторы напряженности Е которого направлены  плоскости от неё (если >0) или к ней (если <0). За га­уссову поверхность S удобно принять повер­хность цилиндра, образующие которого  плоскости, а основания площадью S || ей и лежат по разные стороны от неё на одинаковых расстояниях. Т.к. векто­ры Е направлены вдоль оси OX (E=E_xi) и Е_x(x)=–Е_x(–х), то: §_(S)E dS=2E_xS, q_охв=S, где Е_x – проекция вектора Е на ось ОХ в точках с координатами x>0. Т. о., E_x=/2₀, если x0,

E_x=–/2₀, если x0. Общая формула для напряженности в любой точке поля имеет вид E_x=x/2₀|x|. Т. о., поле заряженной плоскости всюду слева от неё однородное и всюду справа от неё тоже однородное. Однако при переходе через эту плоскость из одной области поля в другую вектор напряженности Е изменяет скачком свое направление на противоположное. Так как E_x=–d/dx, то, полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоско­сти x=0, получаем: а) d/dx=–/2₀, =–x/2₀ (при х0); б) d/dx=/2₀, =x/2₀ (при х0); Общая формула, справедливая при любых значениях х, имеет вид: =–/2₀ |х|. Графики, где >0 (рис.2).