Общая физика. Оптика / Ответы на вопросы / Электрическая ёмкость уединённого проводника и конденсатора

Электрическая ёмкость уединённого проводника и конденсатора: уединенным проводником наз. проводник, который находится столь далеко от других тел, что влиянием их электриче­ских полей можно пренебречь. Характер распределения зарядов по поверхности за­ряженного уединенного проводника, нахо­дящегося в однородной, изотропной диэлек­трической среде, зависит только от формы поверхности проводника. Rr; E=k(Q/r²); _ш=k(Q/R_ш); =k(Q/r), где k=k(x,y,z) – функция координат точки A, зависящая от формы и размеров поверхности. Q=4₀R_ш_ш, где 4₀R_ш=С. Величина С, равная отношению заря­да q уединенного проводника к его потен­циалу , наз. электрической ем­костью этого проводника (при =0 в бесконечно удалённой точке): C=Q/. [C] – фарад, 1Ф=1Кл/1В. Электроемкость уединенного проводни­ка зависит от его формы и размеров. Потенциалы одинаково заряжен­ных и геометрически подобных проводников обратно пропорциональны их линейным размерам, а электроемкости этих проводни­ков  им. Электроемкость уединенного проводни­ка зависит также от диэлектрических свойств окружающей его среды. Ни от материала проводника, ни от фор­мы и размеров возможных полостей внутри проводника его электроемкость не зависит, так как свободные заряды находятся только на внешней поверхности проводника. _R=^_RE­_rdr, где , а C. Электроемкость неуединенного проводника всегда больше электроемкости того же про­водника, когда он уединен. Плоский конденсатор сост. из двух || металлических пластин пло­щадью S каждая, расположенных на близ­ком расстоянии d одна от другой. Заряды пластин q>0 и –q. Если линейные разме­ры пластин велики по сравнению с d, то электростатическое поле между пластинами можно считать таким же, как поле между двумя плоскостями, заряженными разнои­менно с поверхностными плотностями заря­дов =q/S и –. Если ось ОХ проведена  пластинам конденса­тора в направлении от положительно заря­женной пластины 1 (х₁=0) к отрицатель­но заряженной пластине 2 (x₂=d}, то напряженность поля конденсатора между пластинами Е_x=/₀(0xd), где  – относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей кон­денсатор. Т. к. d/dx=–E_x=–/₀ то разность потенциалов пластин ₂–₁=–(/₀)^d₀dx=–d/₀=

=–qd/₀S. Т. о., электрическая емкость плоского конденсатора С=q/₁–₂=₀S/d. Формула справедлива только при малых значениях расстояния d между пластинами (d<<S), когда можно прене­бречь нарушением однородности электро­статического поля у краев пластин. Сферический конденсатор сост. из двух концентрических металлических об­кладок 1 и 2 сферической формы, радиусы которых соотв. равны R₁, и R₂>R₁. Пусть q>0 – заряд обкладки 1, а –q – заряд обкладки 2. Равномерно заряженная сфера создает электростатическое поле только в области пространства вне этой сферы. Вне наружной обкладки поля разноименно заря­женных обкладок взаимно уничтожаются, а поле внутри конденсатора, т.е. между обкладками, создается только заря­дом q внутренней обкладки. Напряжённость поля в конденсаторе направлена радиально: Е=Е_r, причём E_r=q/4₀r², где  – относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей кон­денсатор. Т. к. d/dr=–E_r=–q/4₀r², то разность потенциалов обкладок ₂–₁=–q/4₀^R2_R1 dr/r²=q/4₀((1/R₂)–(1/R₁)). Электрическая ёмкость сферического конденсатора: C=q/₁–₂=4₀/(1/R₁)–(1/R₂)= =4₀R₁R₂/R₂–R₁ [1]. При R₂ конденсатор превращается в уединенную сферу радиуса R₁, а электри­ческая ёмкость конденсатора приближается по значению к электрической емкости уеди­нённой внутренней обкладки С₁=4₀R₁. При любом конечном значении R₂ электри­ческая емкость сферического конденсатора больше электрической емкости одной уеди­ненной его внутренней обкладки. Если R₂–R₁=d<<R₁, то из формулы [1] сле­дует, что C₀S/d, где S=4R²₁ – пло­щадь внутренней обкладки. Цилиндрический конденсатор сост. из двух соосных тонкостенных металлических цилиндров высотой h и радиусов R₁и R₂>R₁, вставленных друг в друга. Пусть заряд внутренней обкладки радиуса R₁q>0, а внешней –q. Если h>>(R₁ и R₂), то, пренебрегая искажениями поля вблизи кра­ев конденсатора, можно приближенно счи­тать, что поле конденсатора такое же, как поле двух соосных цилиндров бесконечной длины, заряженных с линейными плотностями зарядов =q/h и –. Внутри конденса­тора поле создается только внутренней обкладкой. Из =/(2R₁)q/(2R₁h), следует, что напряженность поля в диэлектрике с относи­тельной диэлектрической проницаемо­стью , заполняющем поле между обклад­ками конденсатора (R₁rR₂), равна E_r=q/(2₀hr). Т. к. d/dr=–E_r=–q1/2₀hr, то разность потенциалов обкладок конден­сатора ₂–₁=

=–q/2₀h^R2_R1 dr/r=–(q/2₀h)ln(R₁–R₂). Электрическая ёмкость цилиндрического конденсатора C=q/₁–₂=2₀h/ln(R₂/R₁). Если зазор между обкладками конден­сатора d=(R₂–R₁)<<R₁, то ln (R₂/R₁)=ln(1+d/R₁)d/R₁ и C₀S/d, где S=2R₁h – площадь внутренней обкладки. При || соединении конденсаторов их общая С=С_i. При последовательном соединении к. величина, обратная электрической ёмкости батареи =  величин, обратных электрическим ёмкостям всех конденсаторов, которые входят в батарею.