33. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

Для предотвращения затухания колебаний в контуре подключим последовательно конденсатору источник напряжения (рис. 9.6), ЭДС которого периодически изменяется во времени с частотой :

.

В этом случае обобщенный закон Ома для участка цепи 2–L–1 запишется следующим образом:

,

где ,. После подстановки и преобразований получаем:

. (9.17)

Если обозначить,, то уравнение (9.17) приводится к видудифференциального уравнения вынужденных колебаний

. (9.18)

Как было показано в п. 5.6 первой части курса, решением такого уравнения является функция вида

. (9.19)

В этом выражении первое слагаемое играет роль только на начальной стадии установления процесса колебаний. В дальнейшем этой составляющей решения можно пренебречь. Второе слагаемое (9.19) описывает установившиеся вынужденные колебания (рис. 9.7).

Подставим в уравнение (9.18). Для этого найдем производныепо времени:

,

.

После подстановки получим

++=.

Используя метод векторных диаграмм, представим левую часть последнего уравнения в виде суммы трех векторов (рис. 9.8), модули которых указаны на рисунке. Результат сложения этих трех векторов – вектор, модуль которого равен . Из рис. 9.8 следует, что

.

Используя теорему Пифагора, найдем амплитуду вынужденных колебаний:

. (9.20)

Решение уравнения вынужденных колебаний позволяет сделать такие выводы:

1) частота вынужденных колебаний в контуре равна частоте колебаний внешней ЭДС, подключенной в контур;

2) разность фаз напряжения и вынуждающей ЭДС зависит от частоты ЭДС;

3) амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей ЭДС.

Из (9.20) следует, что при амплитуда колебаний принимает значение, т.е. конденсатор заряжается от ЭДС соответствующим зарядом и колебания в контуре отсутствуют (рис.9.9).

Выразим амплитуду напряжения на конденсаторе при вынужденных колебаниях:

. (9.21)

Дифференцируя выражение (9.21) по переменной , и приравнивая полученную производную к нулю, можно определить такую частоту внешнего воздействия , при которой амплитуда колебаний достигает максимума:. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия называетсярезонансом. График зависимости амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты вынуждающей ЭДС при различных коэффициентах затухания контура приведен на рис. 9.9. При неограниченном возрастании частоты внешнего воздействия () амплитуда колебаний стремится к нулю, и.

Из (9.21) видно, что при , когда в резонансе, можно получить

,

что совпадает с (9.16). Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения в резонансе больше амплитуды вынуждающей ЭДС.

Наконец, получим закон колебаний силы тока в цепи и исследуем его. Ранее было получено

,

откуда следует, что колебания силы тока в цепи опережают колебания напряжения по фазе на . Амплитуда колебаний силы тока

. (9.22)

Величина Z называется полным сопротивлением последовательного контура переменному току. Соответственно, емкостное сопротивление ииндуктивное сопротивление образуют реактивное сопротивление контура. Сопротивление резистораR называется активным сопротивлением контура. Такая терминология показывает, что необратимое выделение тепла, т.е. энергетические потери контура, происходит только в резисторе. Смысл реактивного сопротивления заключается в том, что оно просто ограничивает силу тока в цепи, но не влияет на тепловые потери.

Амплитуда колебаний силы тока в контуре также зависит от частоты вынуждающей ЭДС. В зависимости от величины активного сопротивления она принимает максимальные значения при одной и той же частоте (рис. 9.10). Из анализа (9.22) видно, что приреактивное сопротивление контура становится равным нулю, а поэтому полное сопротивление контура равно его активному сопротивлению.