5. Связь напряженности и потенциала. Градиент скалярного поля

Выясним физический смысл взаимосвязи напряженности (силовой характеристики электростатического поля) и потенциала (энергетической характеристики). Соотношение (1.15) позволяет по найденным значениям напряженности поля рассчитать потенциал поля в любой точке. При этом потенциал произвольной точки поля определяется напряженностью поля на всем пути от этой точки до точки отсчета потенциала, т.е. той точки, где его значение условно принято за ноль. Данное соотношение носит название интегральной связи напряженности и потенциала электростатического поля: . (1.17)

Напомним, что при определении потенциала точки поля, согласно (1.17), осуществляется расчет удельной работы поля по переносу пробного заряда.

Из соотношения (1.12) следует, что . С другой стороны,. Тогда. Левая часть равенства представляет собой скалярное произведение вектораи вектора. Тогда. Поскольку, то

Последняя система позволяет записать, что

.

Таким образом,

. (1.18)

Последнее равенство можно записать иначе, в операторной форме, обозначая . Следовательно,

. (1.19)

Выражения (1.18) и (1.19) носят название дифференциальной связи напряженности и потенциала электростатического поля. Они позволяют по найденным значениям потенциала определить напряженность поля. Поскольку градиент скалярной функции – это вектор, направленный в сторону ее наискорейшего возрастания, то из (1.19) следует, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Поэтому и силовые линии поля направлены в сторону убывания потенциала.

Если известны значения потенциала в различных точках пространства, то через точки с одинаковыми значениями потенциала можно провести поверхности, которые называются эквипотенциальными. Графи-чески представляя электростатическое поле на плоском листе бумаги, мы будем изображать сечения этих поверхностей в виде эквипотенциальных линий (эквипотен-циалей). Докажем, что силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям.

Разность потенциалов между двумя точками пространства (рис.1.13), согласно (1.13) равна . Если эти точки принадлежат одной эквипотенциали, то, а векторнаправлен вдоль эквипотенциали. Нулевое значение скалярного произведениявозможно лишь при.

Следовательно, соотношение (1.19) позволяет по заданному распределению потенциала поля в пространстве восстановить картину его силовых линий (рис.1.14).