Общая физика. Оптика / Шпоргалки / 12 н

12. Электрический ток и условия его существования

Электрическим током проводимости называется упорядоченное движение свободных носителей зарядов в веществе или вакууме. электрический ток может быть обусловлен движением как положительно, так и отрицательно заряженных носителей. За направление тока принимается направление, в котором перемещаются положительные носители.

Постоянный электрический ток – электрический ток, не изменяющийся со временем ни по силе, ни по направлению.

Упорядоченное движение свободных носителей зарядов возникает под действием сил электрического поля и характеризуется средней скоростью u. В то же самое время носители зарядов находятся в тепловом хаотическом движении со средней скоростью v.

При наличии электрического тока нарушается равновесное распределение зарядов в проводнике: поверхность проводника уже не является эквипотенциальной и силовые линии электрического поля не направлены перпендикулярно ей. Для движения зарядов необходимо, чтобы на поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности электрического поля не равнялась нулю. Такое электрическое поле создается поверхностными зарядами, плотность которых изменяется по длине проводника (имеется градиент поверхностной плотности заряда). Внутри проводника поверхностными зарядами создается электрическое поле, силовые линии которого повторяют форму проводника.

Необходимыми условиями для существования постоянного тока являются:

– наличие свободных носителей зарядов, которые могли бы перемещаться на макроскопическое расстояние;

– наличие замкнутой проводящей цепи;

– наличие электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на перемещение электрических зарядов. Для того, чтобы ток был длительным, энергия поля должна все время пополняться, то есть, нужен источник электрической энергии.

4.2. Сила и плотность тока. Уравнение непрерывности

Сила тока I – скалярная величина, равная заряду, переносимому носителями в единицу времени через поперечное сечение проводника. Если за время dt переносится заряд dq, то по определению сила тока I равна

(4.1)

Электрический ток может быть распределен в пространстве неравномерно. Более детально можно описать распределение тока с помощью векторной величины – плотности тока . Модуль плотности тока равен отношению заряда, переносимого за единицу времени через поверхность, перпендикулярную к направлению движения носителей, к площади этой поверхности.

Выделим внутри проводника с током поверхность площадью dS (рис.4.1). За время dt эту поверхность пересечет заряд

,

где e – заряд электрона; n – концентрация электронов; u – средняя скорость упорядоченного движения;  – угол между нормалью к поверхности dS и направление движения носителей.

Тогда модуль плотности тока по определению равен

.

Рассмотрим внутри проводника с током произвольную замкнутую поверхность S (рис. 4.3). Пусть j_n – проекция вектора плотности тока на нормаль к элементу поверхности dS. Тогда величина положительного заряда, уходящего из объема, ограниченного поверхностью S, за единицу времени, равна убыли заряда в этом объеме:

. (4.4)

Последнее выражение называется уравнением непрерывности и представляет собой закон сохранения заряда. В случае постоянных токов распределение зарядов стационарно, т. е. = 0, так что уравнение непрерывности принимает вид: (4.5)

Воспользовавшись теоремой Гаусса, можем записать.

Ввиду произвольности объема интегрирования V отсюда следует, что(4.6)

Это уравнение является наиболее общим выражение того факта, что постоянный ток не имеет истоков, т. е. что линии тока всегда замкнуты, либо уходят в бесконечность. Электрическое поле постоянных токов, как и поле электростатическое является потенциальным, вектор напряженности поля может быть выражен через градиент потенциала

.

4.3. Закон Ома. Сопротивление проводников

В 1826 г. немецкий физик Г. Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, существующего в однородном металлическом проводнике, пропорциональна разности потенциалов на концах проводника: (4.7) Однородным называется проводник, в котором на носители действуют только силы электростатического происхождения. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей измерения сопротивления служит Ом (обозначается 1 Ом), равный сопротивлению такого проводника, в котором при разности потенциалов в 1 В существует ток силой в 1 А. Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. Для однородного проводника длиной l с площадью поперечного сечения S , (4.8)

где  – зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества. В СИ  измеряется в Омм.

Закон Ома можно записать в дифференциальной форме, установив, таким образом, связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника.

Выделим мысленно в окрестностях некоторой точки внутри проводника элементарный цилиндрический объем (рис. 4.4) с образующими, параллельными вектору плотности тока в данной точке.

Через поперечное сечение цилиндра существует ток силой jdS, разность потенциалов на торцах цилиндра равна Edl, где E – напряженность поля в данной точке. Электрическое сопротивление цилиндра, согласно формуле (4.8), равно . Тогда закон Ома можно записать так:

.

Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора напряженности электрического поля, поэтому

, (4.9)

где  – величина, называемая удельной электрической проводимостью или просто проводимостью материала.

4.5. Закон Ома для неоднородного участка цепи.

Напряжением (падением напряжения) на участке цепи 1–2 называется физическая величина , численно равная удельной работе, совершаемой суммарным полем кулоновских и сторонних сил при перемещении заряда из точки 1 в точку 2: , (4.24) или . (4.25)

. (4.27)

Это выражение является математической записью обобщенного закона Ома для участка цепи: произведение сопротивления участка цепи на силу тока в нем равно сумме разности потенциалов на этом участке и ЭДС всех источников, включенных на участке.

При выводе уравнения (4.27) мы обходили выделенный участок цепи в направлении электрического тока (вектор совпадал с вектором плотности тока ). Поэтому при определении и ЭДС E_i нужно пользоваться следующим правилом знаков. Падение напряжения считается положительным, если направление тока соответствует направлению обхода участка цепи от точки 1 к точке 2. В противном случае падение напряжения считается отрицательным. ЭДС E_i считаются положительными, если направление обхода участка цепи от точки 1 к точке 2 соответствует перемещению внутри источника Е_i от полюса “–“ к полюсу “+“. В противном случае Е_i следует считать отрицательными.

Применим обобщенный закон Ома к участку цепи, изображенному на рис. 4.8. Выберем условно положительное направление тока, как показано на рисунке, и направление обхода от точки 1 к точке 2. Тогда для участка цепи 1 – Е – R – 2 получим

, (4.28)

где r  внутреннее сопротивление источника тока.

Применяя обобщенный закон Ома к участку 1–V–2 (обход через вольтметр), получаем

, (4.29)

где I_В  ток, проходящий через вольтметр; R_В  сопротивление вольтметра.

Произведение I_В R_В  это показания вольтметра. Следовательно, вольтметр показывает разность потенциалов между точками подключения.