Общая физика. Оптика / Шпоргалки / 14 н

Билет 14

В случае, если магнитное поле создается системой движущихся зарядов, то для нахождения результирующей магнитной индукции в любой точке пространства справедлив принцип суперпозиции магнитных полей (принцип независимости действия магнитных полей):

, (5.8)

т.е. магнитная индукция поля, созданного системой зарядов в любой точке пространства, равна векторной сумме магнитных индукций полей, созданных каждым зарядом в этой точке в отдельности.

Определим с помощью принципа суперпозиции (5.8) и соотношения (5.5) магнитную индукцию поля, создаваемого элементом проводника с током (рис.5.3) в некоторой точке пространства. Поскольку ток – это направленное движение заряженных частиц, за направление которого принято направление движения положительных зарядов, то магнитное поле в точке М будет создаваться всеми движущимися по проводнику зарядами, сосредоточенными в выбранном элементе проводника длиной . Если концентрация свободных носителей заряда в проводнике равна п, то в данном элементе проводника сосредоточено число заряженных частиц, равное . Тогда, согласно (5.5) и (5.8), элементарная магнитная индукция (т.е. магнитная индукция, созданная элементом тока) в точке М определится так:

Поскольку сила тока в проводнике , а соотношение определяет вектор , направленный по направлению тока в проводнике, то

. (5.9)

Выражение (5.9) определяет магнитную индукцию, созданную в произвольной точке пространства элементом проводника с током и называется законом Био–Савара–Лапласа. Такую математическую форму закону придал в 1820 г. французский математик П.-С. Лаплас, обобщив результаты исследований Ж.-Б. Био и Ф. Савара.

Определим с помощью закона Био–Савара–Лапласа магнитные индукции некоторых магнитных полей.

Пример 1. Рассмотрим магнитное поле прямолинейного проводника с током (рис. 5.4). Пусть исследуемая точка М находится на расстоянии R от проводника. Выделим в проводнике элемент длиной , которому будет соответствовать вектор . Проведем от этого элемента радиус-вектор в точку М. Согласно закону Био–Савара–Лапласа, элементарная магнитная индукция, создаваемая в точке М этим элементом проводника, будет определяться выражением (5.9). Направление вектора определим по правилу векторного произведения: если правый винт вращать по кратчайшему пути от первого сомножителя произведения (вектора ) ко второму сомножителю (вектору ), то поступательное движение винта укажет направление . На рис. 5.4 показано, что вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка “от нас”. Если рассмотреть различные элемента проводника с током, то можно сделать вывод, что все элементарные магнитные индукции, создаваемые различными фрагментами , будут сонаправлены в одну сторону. Следовательно, согласно принципу суперпозиции (5.8), , причем .

Модуль элементарной индукции можно найти следующим образом. Согласно определению векторного произведения,

, (5.10)

где  – угол между векторами и . Поскольку элемент виден из точки М под малым углом d, то , и тогда , т.к. отрезок практически совпадает с дугой окружности радиуса r с центром в точке М. Наконец, . Подставляя все выводы в (5.10), получим . Тогда

, (5.11)

где и – углы между направлением тока в проводнике и направлением на точку М в начале и в конце проводника (см. рис.5.4).

Из (5.11) можно получить выражение для модуля индукции магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током. Таким объектом будет отрезок прямого провода, если исследуемая точка М находится настолько близко к проводу, что расстояние R существенно меньше расстояний до его концов, т.е. границы проводника не видны из точки М. Тогда , а , поэтому . В СИ это выражение принимает вид

. (5.12)