Численные методы (Шапошникова Д.А.) / Лекции / Лекция_12_ИЭТ 2011 ЗКМногошаговые методы

Методы вычислений. ИЭТ. 4-й семестр. Лекция 12. Стр. 2

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ИЭТ, 4-й семестр, 2²

Лекция 12

Численные методы решения задачи Коши

для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Многошаговые методы Адамса

Многошаговые методы Адамса

Методы Адамса, обладая высокой точностью, не содержат производных правой части. Однако, в отличие от методов Рунге-Кутты, при вычислении решения в очередном узле сетки используются значения решения в предыдущих узлах. Т.е. методы Адамса — многошаговые. Воспользуемся уже описанным выше способом построения расчетных формул. В формуле при вычислении интеграла заменим функцию интерполяционным многочленом (k-1)-й степени , построенным по точкам , , …, , : .

Отсюда имеем расчетные формулы явного многошагового метода Адамса-Башфорта , .

Если же для вычисления интеграла использовать интерполяционный многочлен k-й степени, построенный по точкам , , , …, , : , то получим расчетные формулы неявного многошагового метода Адамса-Моултна .

Метод неявный, поскольку значение входит в обе части расчетных формул.

Выведем для примера формулы двушагового метода Адамса-Башфорта и одношагового метода Адамса-Моултона:

, ,

,

,

откуда имеем — двушаговый метод Адамса-Башфорта,

— одношаговый метод Адамса-Моултона.

Доказано, что k-шаговый метод Адамса-Башфорта и (k-1)-шаговый метод Адамса-Моултона имеют k-й порядок аппроксимации, оба они устойчивы на конечном отрезке и если они являются методами p-го порядка точности и оба метода сходятся также с порядком p.

На практике обычно используют методы Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона совместно. Как и все многошаговые методы, методы Адамса не позволяют начать решение задачи. Для получения «стартовых» значений используют какой-либо одношаговый метод соответствующего порядка точности. Затем, по расчетным формулами Адамса-Башфорта производится "прогноз" ,

который уточняется с помощью итерационного процесса, построенного по расчетным формулам Адамса-Моултона

.

Итерации прекращаются когда , где — заданная погрешность.

Обычно выполняют 1-3 шага итераций. Если требуется большее количество итераций, то алгоритм нуждается в корректировке. Следует либо уменьшить шаг, либо выбрать другой метод решения, либо изменить метод, используемый при "запуске", исследовать корректность задачи и т.п.

Может показаться, что многошаговые неявные методы уступают явным одношаговым в быстродействии. Это действительно так, если сравнивать быстродействие на одном шаге. Однако неявные методы позволяют вести интегрирование со значительно большим шагом так, что происходит большая экономия вычислений. В целом многошаговые методы существенно экономят время вычислений по сравнению с одношаговыми методами того же порядка точности.