Модификации метода Ньютона

Модификации метода Ньютона различаются способом аппроксимации производной .

Упрощенный метод Ньютона: ,

метод можно использовать в случаях, когда производная функции мало меняется вблизи корня; метод обладает линейной сходимостью. Здесь

Метод ложного положения: ,

c — фиксированная точка вблизи простого корня; метод можно использовать в случаях, когда вычисление производной функции затруднительно или нежелательно; метод обладает линейной сходимостью.

Здесь

Метод секущих: ,

метод можно использовать в случаях, когда вычисление производной функции затруднительно или нежелательно; метод двухшаговый, обладает сходимостью, более быстрой, чем линейная, сходится с порядком : .

Здесь .

Метод Стеффенсена: ,

метод можно использовать в случаях, когда вычисление производной функции затруднительно или нежелательно; метод одношаговый, но, как и метод Ньютона, обладает квадратичной сходимостью. Здесь .

Методы решения систем нелинейных уравнений

Рассмотрим систему нелинейных уравнений c m неизвестными:

, , где , .

Задача решения такой системы существенно сложнее задачи отыскания решения нелинейного уравнения. Однако на практике она встречается значительно чаще. Прежде всего, обычно сложно установить имеет ли система решение и сколько у нее решений. Подавляющее большинство методов решения нелинейной системы являются итерационными, они состоят в построении последовательности , сходящейся к точному решению системы , Например, при и , если .

Матрицей Якоби рассмотренной системы называют матрицу, обозначаемую или , которая определена равенством

.

Наиболее популярными методами решения нелинейной системы являются метод простых итераций и метод Ньютона.

Основные этапы решения.

1. Этап локализации. Для каждого из искомых решений указывают множество, которое содержит только одно это решение и расположено в достаточно малой его окрестности. Часто в качестве этого множества выступает параллелепипед или шар в n-мерном пространстве. Во многих случаях полное решение задачи локализации невозможно и ее можно считать решенной удовлетворительно, если для удается найти хорошее начальное приближение.

2. Вычисление решения задачи с заданной погрешностью  с помощью итерационных методов решения систем нелинейных уравнений.

Корректность и обусловленность задачи.

Будем считать, что система функций имеет решение , причем в некоторой окрестности этого решения матрица Якоби невырождена, что гарантирует , что в указанной окрестности нет других решений системы.

В лекции 3 было установлено, что погрешность в вычислении функции приводит к образованию вокруг корня уравнения интервала неопределенности.

Аналогично, погрешности в вычислении вектор-функции приводят к появлению области неопределенности D, содержащей решение системы такой , что для всех векторное уравнение удовлетворяется с точностью до погрешности. Область D может иметь сложную геометрическую структуру.

Оценим радиус этой области. Будем полагать , что для близких к значений вычисляемые значения удовлетворяет неравенству -(). Тогда можно приближенно оценить с помощью неравенства (). Таким образом, в рассматриваемой задаче роль абсолютного числа обусловленности играет норма матрицы, обратной к матрице Якоби.

Метод простых итераций

Метод простых итераций решения нелинейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной ей системой и построении последовательности ,сходящейся при к точному решению исходной системы.

Нетрудно показать, что , где — точка, принадлежащая общей окрестности точек и . Т.е. сходимость метода зависит от свойств матрицы Якоби . Обычно рассматривают матрицу . Поэтому достаточным условием сходимости метода является условие , например, .

На практике вычисления заканчивают, когда , где — заданная погрешность вычислений. Тогда полагают . Следует, однако, помнить, что при медленной сходимости итерационный процесс может завершиться задолго до достижения корня. С другими критериями окончания итерационного процесса можно ознакомиться отдельно. Здесь они не рассматриваются, поскольку метод простых итераций имеет смысл использовать тогда, когда итерационная последовательность сходится быстро и удовлетворительная погрешность достигается за 2-3 итерации.