Численные методы (Шапошникова Д.А.) / Лекции / Лекция_9_ИЭТ 2011Численное дифференцирование

Методы вычислений. ИЭТ. 4-й семестр. Лекция 9. Стр. 4

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ИЭТ, 4-й семестр, 2²

Лекция 9

Приближение функций и численное дифференцирование

Численное дифференцирование применяют в тех случаях, когда невозможно или очень сложно продифференцировать функцию аналитически (будем говорить точно). Например, если функция задана таблично или вычисление производной требует большого числа арифметических операций. В этом случае чрезвычайно эффективно использование сплайн-интерполяции. Поскольку производные сплайна на каждом интервале можно найти аналитически, то приближенное значение производной функции полагают равными значению производной интерполяционного сплайна. Интерполяцию кубическим сплайном используют также для вычисления вторых производных. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке численных методов решения многих задач(решение дифференциальных уравнений, поиск решений нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций и др.)

Простейшие формулы численного дифференцирования.

Вычисление первой производной. Предположим, что в окрестности точки функция дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной

, естественно попытаться использовать для ее вычисления две простейшие формулы:

(1), соответствующих выбору фиксированных значений . Разностные отношения в правых частях формул называют правой и левой разностными производными.

Для оценки погрешностей

(погрешностей аппроксимации) воспользуемся формулами Тейлора:

, здесь и ниже и - некоторые точки, расположенные на интервалах соответственно.

Следовательно

Таким образом формулы (1) имеют первый порядок точности по .Приведенные формулы численного дифференцирования имеют простую геометрическую интерпретацию (см.рис.)

Естественно предположить, что лучшим по сравнению с приближением к является тангенс угла наклона секущей к графику функции, проведенной через точки .

Соответствующая приближенная формула имеет вид:

, величину правой части формулы называют центральной разностной производной.

Подставляя в выражение для погрешности соответствующие разложения по формуле Тейлора

получим,

. Следовательно, справедлива оценка погрешности

.

Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно .

Вычисление второй производной.

Наиболее простой и широко применяемой для приближенного вычисления второй производной является формула

(2), величину в правой части равенства называют второй разностной производной.

Подставляя в выражение для погрешности соответствующие разложения по формуле Тейлора

получим,

. Следовательно, справедлива оценка погрешности

Таким образом, формула (2) имеет второй порядок точности.

Обусловленность формул численного дифференцирования.

Несмотря на внешнюю простоту формул численного дифференцирования, их применение требует особой осторожности. Используемые при численном дифференцировании значения функции непременно содержат ошибки. Поэтому к погрешности аппроксимации формул численного дифференцирования добавляется неустранимая погрешность, вызванная погрешностями вычисления функции . Для того, чтобы погрешность аппроксимации была достаточно малой, требуется уменьшить шаг . Однако при малых шагах формулы численного дифференцирования становятся плохо обусловленными, и результат их применения может быть полностью искажен неустранимой погрешностью. Важно понимать, что действительная причина этого явления не в несовершенстве предложенных методов вычисления производных, а в некорректности самой операции дифференцирования приближенно заданной функции.

Полная погрешность реально вычисляемого значения правой разностной производной представляет собой сумму погрешности аппроксимации и неустранимой погрешности:

Пусть - верхняя граница абсолютной погрешности используемых значений функции. Тогда

число обусловленности . Т.к. при , то формула правой разностной производной при малых становится очень плохо обусловленной. Верхняя граница полной погрешности будет неограниченно возрастать при , хотя погрешность аппроксимации стремится к нулю.

. Ниже приведен график функции , полученной для функции в точке с разными значениями шага .

Выберем оптимальное значение шага , при котором величина достигает минимального значения. Приравняем производную к нулю. Получаем:

.

Формулы для вычисления производных порядка обладают еще большей чувствительностью к ошибкам задания функций. Поэтому значения производных высокого порядка, найденные помощью таких формул, могут быть очень неточными.