Задача 2.92. Размеры выплат страховой компании образуют последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин с функцией плотности вероятности

f (x) = a2 x exp(-ax), a > 0, x ³ 0.

Пусть N –– число таких выплат имеет распределение Пуассона с параметром l. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы этих выплат. (См. пример 2.92, a –– номер варианта.)

2.17.3. Характеристические функции

Замена z на e-s в определении производящей функции позволила рассматривать непрерывные неотрицательные величины. Выгода от такой замены состоит в мультипликативном свойстве: e-s( x+y ) = e-sxe-sy . Таким же свойством обладает и показательная функция чисто мнимого аргумента, которая для действительных x определяется равенством:

eixz = cos(xz) + i sin(xz) .

Существование интеграла, определяющего характеристическую функцию, вытекает из непрерывности функцииеizх и ее ограниченности:

| еizх |£1. Для дискретной случайной величины X с возможными значениями xk и их вероятностями pk запись (2.17.15) расшифровывается как

k !

формуле (2.17.11)

169

(2.17.12)

Вместо непосредственного вычисления интеграла, которое требует специальной математической техники, найдем его величину косвенным способом. Заметим, что

Свойства характеристических функций.

1.j(0) =1, | j(z) |£1 для всех вещественных z.

2.Если существует М ( Х n ) –– момент порядка n, то функция j(z)

имеет n непрерывных производных и

j(n) (0) = in M ( X n ).

3. Пусть Y = aX + b, где a и b –– постоянные величины, а X имеет характеристическую функцию j (z). Тогда характеристическая функция случайной величины Y имеет вид

y(z) = M (=eizY )= М=(еiz (aX +b ) ) eizb M (eiazX ) eizbj(az).

4. Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.

170

5. Если X1 и X2 –– независимые случайные величины, а j1 (z) и j2 (z) ––

Сумме независимых случайных величин соответствует произведение характеристических функций слагаемых. Поэтому X + Y имеет характеристическую функцию

соответственно нормальные законы распределения N (m1;s12 ) и N (m2 ;s22 ) ,

то их сумма Х1 + Х 2 имеет тоже нормальный закон распределения

N (m1 + m2 ;s12 + s22 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Х1 ~ N (m1;s12 ) и Х 2 ~ N (m2 ;s22 ) . Их характеристические функции в соответствии с формулой (2.17.15) имеют вид

Тогда характеристическая функция суммы Х1 + Х 2 :

171

=exp{i(m1 + m2 )z – (s12 + s22 )z2 / 2}.

Аэто и означает, что Х1 + Х 2 ~ N (m1 + m2 ;s12 + s22 ).

Задача 2.93. Случайная величинаX имеет функцию плотности

вероятности: в вариантах 1, 6, 11, 16, 21, 26 f (x) = 1 e-|x| (закон распределения

2

Лапласа или двойное экспоненциальное распределение); в вариантах 2, 7,

распределения). Дискретная случайная величина имеет распределение: в вариантах 4, 9, 14, 19, 24, 29 P( X = k) = pqk -1 , k =1, 2,3,K (геометрический закон распределения); в вариантах 5, 10, 15, 20. 25, 30 P( X = k) =Cnk pk qn –k ,

Для вычисления M (Y ) находим

djY (z) = n(1 + cos5z)n-1 (-sin 5z) 5 / 2n. dz

172

опытах. Найдите характеристическую функцию случайной величиныJi. Используя ее свойства, найдите характеристическую функцию случайной

173

¥

так как 1 ò e-t2 /2dt =1. Из свойства5 характеристических функций

2p -¥

независимы и имеют распределение (2.17.21).

Решение. Найдем сначала характеристическую функцию:

174