Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tip_rasch_ver.pdf

Скачиваний:

746

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

3.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4823 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

(Х –– это, например, число независимых опытов до первого появления события, если вероятность появления события в одном опыте равнаp, причем опыт, в котором событие появилось, считается).

Найдите M ( X ), D( X ) и коэффициент асимметрии As.

(См. примеры 2.94, 2.95; p = 0,1n , где n –– последняя цифра номера варианта, а в вариантах 10, 20, 30 n –– первая цифра номера варианта.) (См.

примеры 2.90.1, 2.90.2.)

Задача 2.90.2. Случайная величина Х имеет закон распределения:

Р( Х = k)	(k + 2) pk q2	, где p + q	1, k = 0,1,2,3,=¼ .
Р( Х = k)	=	, где p + q	1, k = 0,1,2,3,=¼ .
	(2 - p)
С помощью производящей функции найдите M ( X ) и D( X ) .
		¥		2 - x
У к а з а н и е . Воспользуйтесь тем, что å(k + 2)xk =				2 - x	при \| x \|<1.
У к а з а н и е . Воспользуйтесь тем, что å(k + 2)xk =				2	при \| x \|<1.
		k =0		(1 - x)

(См. примеры 2.94 и 2.95, p = 0,1n , где n –– последняя цифра номера варианта, а в вариантах 10, 20, 30 n –– первая цифра номера варианта.) (См.

примеры 2.90.1 и 2.90.2.)

2.17.2. Преобразование Лапласа

Для непрерывной и неотрицательной случайной величины роль производящей функции может играть преобразование Лапласа.

Пусть Х –– непрерывная, неотрицательная случайная величина с функцией распределения F (x) . Тогда

¥¥

j(s) M (e-sx=) òe-sxdF (x=)	òe-sx f (x) =dx	(2.17.10)
0	0

называется преобразованием Лапласа для этого распределения. (Фактически роль величины z в формуле(2.17.1) играет величина e-s . Преимущество такого выбора состоит в том, что ea+b = eaeb .)

	¢	-òx e	-sx	dF (x) и
Отметим, что j (=s)		-òx e		dF (x) и
		0
	¥		¥
¢	òxdF= (x) M ( X=),	¢¢		2	dF= (x)
-j (0)	òxdF= (x) M ( X=),	а j (0)	òx		dF= (x)
	0		0

D( X ) = М ( Х 2=) – [М ( X )]2

¢¢	2	e	-sx	dF (x) . Поэтому
j (s) =	òx	e		dF (x) . Поэтому
	0
М ( Х=2 ) и
¢¢	¢			2	(2.17.11)
j (0) – [j		(0)] .			(2.17.11)

Производная любого порядка от преобразования Лапласа связана с начальными моментами случайной величины соотношением

(n )	(-1)	n	M ( X	n	).	(2.17.12)
j =(0)

165

Говорят, что случайная				величинаX имеет гамма-распределение с
параметрами a > 0 и l > 0 ,			если ее функция плотности		вероятности имеет
вид
	ì la			xa-1 e-l x при x ³ 0,
f (x) =	ï				(2.17.13)
		G a
	í		( )
	ï			при x < 0,
	î0

где G(a) –– так называемая гамма-функция Эйлера, которая при целых положительных a принимает значения G(a) = (a – 1)!.

Пример 2.91. Случайная величинаX имеет функцию плотности вероятности

	l3
f (x) =		x2 e-lx при x ³ 0 и f (x) = 0 при x < 0
	2

(гамма-распределение с параметрами a = 3 и l). Требуется найти M ( X ), D( X ) и коэффициент асимметрии As.

Решение. Соответствующее преобразование Лапласа имеет вид

j(s)

òe-sx x2 e-=lxdx

òx2 e-( s+l=) xdx

(интегрируем по частям)

= u

=x2 ,

=du

=2xdx=,

e-(l+s) xdx,

-e-(l+s) x

/ (l + s) =

-(s+l) x

x e

dx ÷

s + l

ò0

(первое слагаемое в скобке равно нулю, так как e-( s+l) x

увеличением x

убывает быстрее, чем растет x2)

òx e-( s+l) xdx =

+ l

(интегрируем еще раз по частям)

= u =x,

=du dx= ,

dv= e-(l+s) xdx,

v -e-(l+s) x / (l + s) =

-( s+l) x

-(s+l) x

dx ÷

s + l è

+ l

s + l ò0

(s + l)2

ò0

-(s+l) x ö

ò0

-( s+l) x

=dx

0 =

(s + l)

+ l

Вычислим начальные моменты распределения:

j(s) =

-3 l3

-j(0)=

= M ( X );

(s + l)4

166

¢¢

12 l3

¢¢

= M ( X

(s + l)5 ,

j (s) =

j (0) = l2

поэтому

æ 3 ö2

D( X ) =

а s(x)

è l

60 l3

¢¢¢

= M ( X

- (s + l)6 ,

j =(s)

-j (0) =

Вычислим центральный момент третьего порядка:

M ( X )3= M[ X – M=( X )]3

M{=X 3 – 3X 2M ( X ) + 3X [M ( X )]2 -[M ( X )]3} =

= M ( X 3 ) – 3M ( X 2 )M ( X ) + 3M ( X )[M ( X )]2 – [M ( X )]3 =

æ 3 ö3

= M ( X

) – 3M ( X

)M ( X ) + 2 [M ( X=)]

- 3

+ 2

Поэтому

è l ø

/ s3 =(6 / l3 ) : (

×1 / l)3 = 2

A = m

/ 3.

Ответ. М ( X ) =

; D( X ) =

;

A = 2

/ 3.

Задача 2.91. Случайная величинаX имеет гамма-распределение с

функцией плотности вероятности(2.17.9).

Найдите М ( X ) ,

D( X ) и

коэффициент асимметрии As. В нечетных вариантах a = 2 ,

в четных a =1.

(См. пример 2.91 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.91.

№

1/2

3/4

2/9

1/3

1/5

1/10

1/8

1/5

2/5

1/9

2/3

1/4

2/5

1/4

1/2

1/8

1/10

Пусть X1, X 2 ,K, X n ,K ––

последовательность

независимых

неотрицательных

одинаково

распределенных

случайных

величин

преобразованием Лапласа

jx (s)

M (=e

-sX

)

-sx

òe =dF (x) ,

пусть N

–– неотрицательная

целочисленная

случайная

величина,

независящая от величин Xi, и имеющая производящую функцию

167

g(z) = åzn pn = M (z N ).

n=0

Найдем преобразование Лапласа от величины W = X1 + X 2 +K+ X N .

По определению

M=[M (e-s( X1 +X 2 +K+X n ) / N n)]

jw (s)= M=(e-sW=)

= åjn (s=)P(=N

g[j(z)].

(2.17.14)

n=0

Пример

2.92.

Пусть X1, X 2 ,K, X n ,K

––

последовательность

независимых

неотрицательных

одинаково

распределенных

случайных

величин

функцией

плотности

вероятностиf (x)

= mexp(-mx) ,

m > 0 ,

x ³ 0. И пусть N –– неотрицательная целочисленная

случайная величина,

независящая

от

величинXi,

имеющая

пуассоновский

закон

распределения

параметромl.

Для

случайной

величины

W = X1 + X 2 +K+ X N требуется найти М (W ) и D(W ).

Решение. Производящая функция пуассоновского закона распределения

равна

n ln

(zl)n

-l

l( z-1)

g(z) = åz

å=z

=å

= .

n! =

n=0

n 0

n! =

n 0

Преобразование Лапласа показательного распределения равно

jx (s)

ò=e-sxme-m xdx =

+ m

Поэтому по формуле (2.17.14) имеем

jw (s) =g[j(z)]

öù

l s ö

=exp

êlç

-1÷ú

=expç

÷.

è s + m

øû

+ m ø

(s)

l s

öæ

-lm

Так как jw

=expç

÷ç

÷, а

s + m

(s + m)

øè

j¢¢ (s)

то

М (W ) = –j¢w (0)= l / m

Ответ. М(W) = lm

æ		l s
expç	-	=
è		s + m

и D(W ) = j¢¢

, D(W) = 2l . m 2

öæ l2m2			+	2lm		ö	,
÷ç						÷
	(s + m)	4		(s + m)	3
øè						ø

æ l2

2l ö

æ l ö2

(0)]

= ç

- ç ÷

2 .

(s) – [jw

è m

è m ø

168

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4823 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.20154.5 Mб44Thermodynamics.pdf
#
31.03.201526.11 Кб14Tiitel.doc
#
13.03.2016782.91 Кб5tipar_po_empp мой.docx
#
31.03.20153.18 Mб318Tipovoy_po_ISU_2014.doc
#
31.03.201586.02 Кб33Tipovoy_raschyot_po_elektrostatike_IEE.doc
#
31.03.20153.46 Mб746Tip_rasch_ver.pdf
#
31.03.201528.16 Кб12Titul_Razdatochnyy_material.doc
#
31.03.2015144.38 Кб22TPI_Zadania_14.doc
#
31.03.201588.06 Кб23tr1_dlya_enmi_2012.doc
#
31.03.20157.49 Mб8tr2(2014-1)gox.doc
#
31.03.2015825.55 Кб52tr3.pdf