МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»

___________________________________________________________________________________________________

В.Г. КРУПИН, А.Л. ПАВЛОВ, Л.Г. ПОПОВ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ

Учебное пособие по курсу «Высшая математика» для студентов МЭИ, обучающихся по всем направлениям подготовки

УДК 51 K

Утверждено учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия для студентов

Подготовлено на кафедре высшей математики

Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, профессор А.С. Барашков, докт. физ.-мат. наук, профессор А.А. Туганбаев

Крупин В.Г.

К Высшая математика. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Сборник задач с решениями: учебное пособие / В.Г. Крупин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов. — М.: Издательский дом МЭИ, 2013. — 368 с.

ISBN

Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения, необходимые для понимания и решения задач. Подробно разобраны примеры решения задач и приведены по 30 вариантов каждого типа задач для самостоятельного решения.

Предназначено как для студентов, приступающих к изучению теории вероятностей, так и для студентов старших , курсовизучающих ее специальные разделы. Пособие будет полезно для дистанционного обучения.

Представляет интерес для преподавателей, желающих активизировать самостоятельную работу студентов(с помощью типовых расчетов или индивидуальных домашних заданий).

______________________

Учебное издание

Крупин Владимир Григорьевич Павлов Александр Леонидович Попов Леонид Глебович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ

Учебное пособие по курсу «Высшая математика» для студентов МЭИ, обучающихся по всем направлениям подготовки

Редактор издательства

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

ЗАО «Издательский дом МЭИ», 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14

©Крупин В.Г., Павлов А.Л., Попов Л.Г., 2012

©ЗАО «Издательский дом МЭИ», 2012

2

расчетов был создан на кафедре Высшей математики Московского энергетического института (ныне Национального исследовательского университета «МЭИ») еще в восьмидесятые годы прошлого столетия.

Лет пятнадцать назад была осознана необходимость значительно

Настоящее издание является третьей книгой в предполагаемой серии задачников. Первые две книги[2] и [3] уже увидели свет в2011 и 2012 годах.

Предлагаемый задачник с решениями содержит задачи по разделам:

вариантов задачи. Такая структура задачника позволяет использовать его в первую очередь для типовых расчетов, для индивидуальных домашних заданий, для проведения контрольных мероприятий.

Беда современного учебного процесса в , томчто в изобилии информационных потоков студент не всегда может должным образом сориентироваться, а часто просто не имеет времени собрать нужную информацию. Поэтому в целях экономии времени студента в каждом разделе, наряду с разбором типовых задач, приведены необходимые теоретические сведения и формулы. Теоретические факты и формулы даны в рецептурном виде без подробного обсуждения и вывода, что вполне приемлемо при первичном знакомстве с предметом.

3

В задачнике представлены задачи, входящие в стандартный курс теории вероятностей и математической статистики, задачи из ряда спецкурсов, читаемых на разных факультетах МЭИ(случайные процессы, теория решающих функций и т..)д. Значительная часть задач по теории вероятностей связана с так называемой«урновой схемой», что позволяет без излишних подробностей, выявить количественные соотношения и особенности тех или иных моделей случайного эксперимента.

Для большинства задач, кроме именных (задача Бюффона, задача

сформулированные заново.

Нумерация примеров и задач ведется внутри каждой главы.

Авторы очень благодарны рецензентам Барашкову А.С. и Туганбаеву А.А. за внимательное прочтение рукописи, за многие полезные замечания и пожелания.

4

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Anr –– число размещений из n элементов по r;

Cnr –– число сочетаний из n элементов по r; n! –– число перестановок из n элементов; A, B, C, D, … –– случайные события;

A–– событие, противоположное событию A ;

Ω–– достоверное событие;

P(A) –– вероятность события A;

P(B/A) –– вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло (условная вероятность события B);

X, Y, Z, … –– случайные величины, а x, y, z, … –– отдельно взятые значения этих величин;

N (m;s2 ) –– нормальный закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией s2 ;

X : N (m;s2 ) –– случайная величина X имеет нормальный закон

распределения с параметрами m и s2 ;

F (x) –– функция распределения случайной величиныX (по определению

F (x) = P( X < x) );

f (x) –– функция плотности вероятности случайной величины X ; M ( X ) –– математическое ожидание случайной величины X ;

D( X ) –– дисперсия случайной величины X ;

cov(X ,Y ) –– коэффициент ковариации случайных величин X и Y ; W –– выборочное пространство;

W0 –– критическая область в выборочном пространстве; ¥ –– множество натуральных чисел; ¢ –– множество целых чисел;

F(x) –– функция Лапласа;

rxy –– коэффициент корреляции случайных величин X и Y ;

H0 – нулевая гипотеза;

H1 – альтернативная гипотеза;

X(t) –– случайная функция или случайный процесс;

K(t1,t2) –– корреляционная (автокорреляционная) функция случайного процесса;

k(t) –– корреляционная (автокорреляционная) функция стационарного случайного процесса;

5

1. КОМБИНАТОРИКА

Пусть имеется несколько множеств элементов:

{a1 , a2 ,¼, at }, {b1 ,b2 ,¼, bs },¼,{c1 , c2 ,¼, ck },¼ .

В этой таблицеk строк и t × s столбцов. Поэтому искомое число способов выбора трех элементов аbc равно t × s × k . Продолжая рассуждать подобным образом, получим следующее утверждение.

Основной комбинаторный принцип. Если некоторый первый выбор можно сделать t способами, для каждого первого выбора некоторый второй можно сделатьs способами, для каждой пары первых двух–– третий выбор можно сделатьk способами и т.д., то число способов для последовательности таких выборов равно t × s × k ×... .

6

Комбинаторные формулы в прикладных задачах теории вероятностей

а) повторный выбор, при котором выбранный элемент возвращается в генеральную совокупность и может быть выбран вновь;

б) бесповторный выбор, при котором выбранный элемент в совокупность не возвращается и выборка не содержит повторяющихся элементов.

При повторном выборе каждый по порядку элемент может быть выбран n способами. Согласно комбинаторному принципу, такую выборку можно сделать nr способами. Например, повторную выборку объема 2 из

трех элементов {a,b,c} можно сделать 32 = 9 способами: аа, аb, bа, bb, bс,

сb, ас, са, сс.

В случае бесповторной выборки первый элемент можно выбратьn способами, для второго остается n -1 возможность выбора, третий элемент

втором выборки отличаютсялибо составом элементов, либо порядком выбора элементов.

Выделим особо случай, когда один за другим выбраны всеn элементов. В этом случае выборки имеют один и тот же состав(все n элементов) и отличаются только порядком выбора элементов. Поэтому число

способами: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Подсчитаем количество бесповторных выборок объемаr, которые отличаются друг от друга только составом элементов. Пусть X –– число таких выборок. Для каждого набора из r элементов можно выбрать порядок их расположения r! способами. Тогда Х × r! равно числу способов выбрать r различных элементов и выбрать порядок их расположения, т.е. равно числу размещений из n элементов по r:

7

Величины Cnr называют биномиальными коэффициентами. Название связано с формулой бинома Ньютона

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В n-й строке треугольника Паскаля располагаются коэффициенты, соответствующие представлению (a + b)n по формуле(1.3). Треугольником

8

удобно пользоваться для нахождения значений. Это значение

Cr

n

находится на пересеченииn-й строки иr-го наклонного ряда. Например,

С83 = 56 .

Биномиальные коэффициенты обладают свойством симметрии:

подтверждает тот очевидный факт, что выбор r элементов из n равносилен выбору тех n – r элементов из n, которые следует удалить, чтобы остались r элементов.

При повторном выборе изn элементов число выборок объемаr,

что речь идет о выборках, которые отличаются хотя бы одним элементом, а порядок выбора этих элементов во внимание не принимается. Число таких

элемента поставим столько единиц, сколько раз предполагается выбрать этот элемент. Например, комбинация 111101 0 0111 0 K 011 означает, что элемент а1 выбран четыре раза, элемент а2 выбран один раз, элемент а3 не выбран, ..., элемент аn выбран два раза. Заметим, что в такой записи число единиц равно объему выборкиr. Для перебора всех возможных комбинаций нужно из r + n – 1 мест выбрать n – 1 место и поставить на них нули, а на остальных местах разместить единицы. Это можно сделать

Порядок элементов внутри каждой из этих m групп не имеет значения.

Пусть А1, А2 ,¼, Аk – множества, число элементов в каждом из которых равно соответственно n1, n2 , n3 ,K, nk . Составить множество B из m1 элементов множества А1, m2 элементов множества А2, …, mk элементов множества Аk, можно, согласно основному комбинаторному принципу,

способами.

Для безошибочного выбора комбинаторной формулы достаточно последовательно ответить на вопросы в следующей схеме:

9

Например, число словарей, необходимых для непосредственного перевода с одного на другой, для пяти языков определяется из следующих рассуждений. Для составления словаря выбираем из пяти языков( n = 5 ) любые два ( r = 2 ). Выбор бесповторный, причем при выборе важен и состав выбора и порядок выбора. Поэтому искомое число словарей равно

А52 = 5 × 4 = 20.

Пример 1.1. Сколькими способами можно выбрать путь из начала координат О(0,0) в точку В(6, 4) , если каждый шаг равен единице, но его можно совершать только вправо или вверх? Сколько таких путей проходит через точку А(2,3) ?

Решение. Весь путь занимает10 шагов (четыре вверх и шесть вправо). Для планирования пути следует решить, какие именно по счету четыре шага следует сделать вверх, а остальные шесть –– вправо. Выбор

5

через точку А существует 10 ×5 = 50.

Ответ. 210; 50.

10

Задача 1.1. Сколькими способами можно выбрать путь из начала координат О(0,0) в точку В(n1, n2 ), если каждый шаг равен1, но его можно совершать только вправо или вверх? Сколько таких путей проходит через точку А(k1, k2 ) ? (См. пример 1.1 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 1.1.

Пример 1.2. В городе с идеальной прямоугольной планировкой(сеть улиц в этом городе изображена на . рис1.1) из пункта A выходят 2N человек. Половина из них идет по направлениюa, половина –– по направлению b. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется так, что половина ее идет по направлениюa, половина –– по направлению b. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Требуется перечислить перекрестки, на которых окажутся люди после прохождения N улиц (отрезков на рис. 1.1), и сколько людей окажется на каждом из этих перекрестков.

Рис. 1.1

Решение. Каждый человек пройдетN улиц и окажется на одном из

11

На каждом перекрестке для каждого человека производится выбор из двух возможностей: идти в направленииa или в направленииb. Поэтому всего возможных путей будет2N . Из этого следует, что каждый путь пройдет только один человек.

В пункте M (k, N – k), окажется столько человек, сколько различных путей ведет в этот пункт из точкиA . Чтобы попасть в пункт M (k, N – k),

Половина этих частиц сдвигается на единицу вправо, другая половина –– на единицу влево. Через единицу времени каждая группа делится пополам, и половина сдвигается не единицу вправо, а другая половина–– влево. Такое разделение происходит каждую единицу времени. Перечислите точки на оси, в которых будет хотя бы одна частица черезN единиц времени. Найдите число частиц в точке с координатой N - 2 в вариантах с первого по десятый, в точке с координатойN – 4 в вариантах с одиннадцатого по двадцатый, в точке с координатой N – 6 в вариантах с двадцать первого по тридцатый. (См. пример 1.2, число N равно последней цифре варианта плюс 5.)

Пример 1.3. Сколькими способами можноn одинаковых предметов распределить между k лицами так, чтобы каждый получил не менее одного предмета?

Решение. Поставим эти предметы в .рядМежду ними будетn – 1 промежуток. В любые k – 1 из этих промежутков поставим разделяющие перегородки. Тогда все предметы разделятся наk непустых частей. Первую часть передадим первому лицу, вторую –– второму и т.д. Выбрать же k – 1

промежуток из n – 1 промежутка можноСnk--11 способами. Заметим, что

вообще n предметов распределить между k лицами можно k n способами.

Ответ. Сnk--11.

Задача 1.3. Сколькими способами можно поставитьn книг наk полок (на каждую полку могут поместиться все n книг и n > k )? Сколькими способами можно поставить книги так, чтобы ни одна полка не осталась пустой? (См. пример 1.3 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 1.3.

12

Сколькими способами это можно сделать, если в каждом ящике должны присутствовать шары всех цветов?

б) Сколькими способами можно выбрать по одному шару каждого цвета? в) Сколькими способами можно выбрать по k шаров каждого цвета? (См. пример 1.4 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 1.4.

Пример 1.5. Сколько цифр в первой тысяче не содержат в своей записи цифры 5?

13

Решение. Для записи любой из цифр000, 001, 002, …, 999 необходимо трижды выбрать повторным способом одну из десяти цифр, поэтому и получается всего103 чисел. Если цифру 5 исключить, то выбор можно производить только из девяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Поэтому

набором из свойствa1,a2 ,¼, an . В том числе имеются предметы, у которых вообще нет перечисленных свойств, или только одно из этих

Пример 1.6. Сколько шестизначных чисел содержат в записи ровно три различных цифры?

Решение. Заметим, что всего шестизначных чисел имеется9×105, так как первая цифра может быть любой(исключая нуль), а остальные пять могут быть выбраны 105 способами.

выбранных трех цифр можно составить36 шестизначных чисел, из двух –– 26, а из одной –– 16 =1 шестизначное число. По формуле (1.7) получаем, что существует 36 - C32 × 26 + C31 ×16 = 540 шестизначных чисел, в записи которых есть только три заданные цифры. Поэтому общее число шестизначных чисел, в записи которых имеются три отличные от нуля цифры, равно

84 ×540 = 45360.

Учтем теперь возможность использования нуля. К нулю нужно

14

например, были выбраны цифры 0, 2, 5, то первой цифрой должна быть2 или 5. К этой первой цифре в соответствии с формулой(1.7) можно

Ответ. а) 2002; б) 504; в) 220.

15

Задача 1.7. Продаются воздушные шарики n различных цветов (красные, синие, зеленые и т.д.).

а) Сколькими способами можно приобрести k шариков?

б) Сколькими способами можно приобрести k шариков различных цветов?

в) Сколькими способами можно приобрести k шариков так чтобы среди купленных было не менее двух красных и одного синего шарика?

(См. пример 1.7 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 1.7.

Пример 1.8. Имеется n1 яблок, n2 груш и n3 персиков. Сколькими способами можно их разложить по двум корзинам? Сколькими способами можно это сделать, если в каждой корзине должно быть хотя бы по одному

персиков дают соответственноn2 +1 и n3 +1 комбинаций. По комбинаторному принципу всего будет (n1 +1)(n2 +1)(n3 +1) способов.

При ответе на второй вопрос учтем, что следует по одному яблоку

можно распределить эти предметы между двумя людьми(не исключая случая, когда одному из них нечего не достается)? Сколькими способами можно распределить эти предметы так, чтобы каждому досталось не менее

16

двух предметов каждого вида(полагаем, что предметов каждого вида не менее четырех)? (См. пример 1.8 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 1.8.