1.Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису

Рассмотрим сначала случай линейного оператора , действующего из пространствав себя. Итак, пусть в линейном пространстве заданы два базиса:иРазложим “новые” базисные вектора в линейные комбинации “старых” базисных векторов:

Стоящая здесь матрица м столбцом которой является координатный столбецго базисного векторав “старом” базисеназывается матрицей перехода от “старого”базиса к “новому“. Если теперь координаты векторав “старом” базисеакоординаты того же векторав “новом” базисето имеет место равенство

Так как разложение по базису единственно, то отсюда следует, что

Получен следующий результат.

Теорема 1. Координаты векторав базисеи координатытого же вектора в базисесвязаны соотношениями (2), гдематрица перехода от “старого”базисак “новому“.

Посмотрим теперь, как связаны между собой матрицы иодного и того же операторав различных базисахи пространства Матрицыиопределяются равенствамиПустьЭто равенство в базисе равносильно матричному равенству

а в базисе матричному равенству( здесь приняты те же обозначения, что и в (1)). Используя теорему (1), будем иметь

так как столбец произвольный, то отсюда получаем равенство

Доказан следующий результат.

Теорема 2. Если матрица операторав базисеаматрица того же оператора в базисе то

Замечание 1. Две произвольные матрицы исвязанные соотношениемгденекоторая невырожденная матрицаназываются подобными матрицами. Таким образом, две матрицы одного и того же оператора в различных базисах подобны.

Пример 1. Матрица операторав базисе имеет вид

Найти матрицуэтого оператора в базисеВычислить координаты векторав базисе

Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому и обратная к ней матрица имеют вид

поэтому по теореме 2 матрица оператораи новом базисе будет такой:

Далее, вектор имеет следующий координатный столбец в базисеПо теореме 1 координатный столбец этого вектора в базисебудет иметь вид

_{Пусть теперь оператор} действует из линейного пространства в другое линейное пространствои пусть в пространствевыбраны два базиса:иа в пространстве– базисыи. Тогда можно составить две матрицыилинейного оператора

и две матрицы иперехода от “старых” базисов к “новым”:

Нетрудно показать, что в этом случае имеет место равенство

2. Ядро и образ линейного оператора

Пусть дан линейный оператор действующий из линейного пространства в линейное пространствоСледующие понятия бывают полезными при решении линейных уравнений.

Определение 1. Ядром оператора называется множество

Образом оператора называется множество

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространств исоответственно, причем имеет место равенство

Для вычисления ядра оператора надо записать уравнениев матричной форме (выбрав базисы в пространствахи) и решить соответствующую алгебраическую систему уравнений. Поясним теперь, как можно вычислить образ оператора.

Пусть матрица операторав каком-нибудь базисе. Обозначим через-й столбец матрицыПринадлежность вектораобразуозначает, что существуют числатакие, что вектор столбецпредставляется в видет.е.является элементом пространства линейных комбинаций столбцовматрицыВыбрав в этом пространстве базис(например, максимальную совокупность линейно независимых столбцов матрицы), вычислим сначала образ оператора-матрицы:а затем построим образ оператора:

Пример 2. Найти матрицу, ядро и образ оператора проектирования на плоскость(трехмерное пространство геометрических векторов).

Решение. Выберем в пространстве какой-нибудь базис (например, стандартный базис). В этом базисе матрицаоператора проектированиянаходится из равенстваНайдем образы базисных векторов. Так как плоскостьпроходит через осьто

Далее (см. Р10) И аналогично

Таким образом,

Значит, матрица оператораимеет вид

Ядро оператора-матрицы вычисляем из уравнения

Таким образом,

(произвольная постоянная).

Образ оператора-матрицы натянут на все линейно независимые столбцы матрицыт.е.

поэтому

(произвольные постоянные).