4. Структура общего решения неоднородной системы уравнений. Алгоритм метода Гаусса построения общего решения линейной алгебраической системы уравнений

Рассмотрим неоднородную систему (1). Сначала заметим, что разность двух ее решений будет решением соответствующей однородной системыДействительно, имеем верные равенстваипоэтомут.е. разностьявляется решением однородной системы (2). Отсюда следует, что векторгдефиксированное решение неоднородной системы, аобщее решение соответствующей однородной системыбудет решением неоднородной системы (1) при любых значениях постоянныхЕсли теперьлюбое другое решение неоднородной системы, то его можно представить в видеДействительно, разностьявляется решением однородной системыа, значит, по теореме 1 существуют постоянныетакие, что имеет место равенство

ч.т.д. Мы получили следующий результат.

Теорема 2. Общее решение неоднородной системы имеет вид

гдечастное решение неоднородной системы, фундаментальная система решений соответствующей однородной системы а произвольные постоянные.

Теперь опишем алгоритм построения общего решения неоднородной системы (1).

Алгоритм метода Гаусса

1. По системе (1) строим расширенную матрицу

2. С помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу к ступенчатому виду

3. По матрице восстанавливаем систему уравнений; при этом уравнения, соответствующие нулевым строкам матрицы не выписываем.

4. Неизвестные, коэффициентами которых являются опорные элементы матрицы объявляем базисными (закрепленными), оставляем их в левых частях уравнений, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим их в правые части уравнений.

5. Придавая свободным неизвестным значения произвольных постоянных, решаем полученную систему уравнений обратным ходом и находим базисные неизвестные и , наконец, записываем общее решение исходной системы уравнений в виде (4).

Пример 1. Найти общее решение системы уравнений

Решение. Составляем расширенную матрицу и приводим её к ступенчатому виду(опорные элементы выделены в квадратиках):

По матрице восстанавливаем систему уравнений (нулевую строку не учитываем):

Базисными неизвестными являются и; оставляем их слева. Полагая значения свободных неизвестных произвольными:перенесём их направо. Будем иметь

Теперь можно записать общее решение исходной системы (5):

Отсюда и из теоремы 2 следует, что

Найдены частное решение системы (5) и ф.с.р. соответствующей однородной системы.

Лекция 5. Правило Крамера. Линейное подпространство. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц

В предыдущей лекции были рассмотрены общие системы линейных уравнений. В них число уравнений могло не совпадать с числом неизвестных. Соответствующая матрица системы была в общем случае прямоугольной. В случае систем с квадратной матрицей можно указать еще два способа решения (кроме изложенного выше метода Гаусса).

1. Линейные системы уравнений с квадратной матрицей. Правило Крамера

Итак, рассмотрим систему линейных уравнений

с неизвестнымиМатрицаэтой системы квадратная, поэтому можно вычислить ее определитель(называемыйглавным определителем системы (1)). Ниже будут участвовать и другие определители, относящиеся к системе (1). Введем их. Если в определителе выброситьй столбец и заменить его на столбецсвободных членов, то получим определитель

называемый м вспомогательным определителем Если определительто для матрицысуществует обратная матрицаи эта матрица единственна. С помощью неё можно решить систему (1). Действительно, умножая обе части последнего равенства (1) набудем иметьМы доказали следующее утверждение.

Теорема 1. Если то система (1) имеет единственное решение

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение.Так как определительто данная система имеет единственное решение

Другой способ решения системы (1) основан на следующем утверждении.

Теорема Крамера. Пусть в системе (1) хотя бы один из ее коэффициентов не равен нулю. Тогда для того чтобы система (1) имела единственноерешение, необходимо и достаточно, чтобы её главный определитель был не равен нулю. В этом случае решение системы (1) даётся формулами Крамера:

Если и хотя бы один из определителейто система (1) решений не имеет. Если все, то система (1) либо не имеет решений вообще, либо имеет их бесчисленное множество.

Доказательство проведем в случаедля системы

с двумя неизвестными Не умаляя общности, можно считать, чтоИз первого уравнения (3) находими подставляем во второе уравнение; будем иметь

Пусть теперь тогда, поэтому

Мы показали, что в случае исходная система (3) равносильна системе двух уравненийпоэтому еслито система (3) имеет единственное решениеТеорема доказана.

Геометрическая интерпретация теоремы Крамера. Уравнения (3) есть уравнения прямых на плоскостиЕслито коэффициенты указанных прямых не пропорциональны, значит, эти прямые не параллельны (см. Р.7), и поэтому пересекаются в одной точке (в точке). Еслито коэффициенты прямых (3) пропорциональны, т.е.В этом случае система (3) равносильна одному уравнениюкоторое имеет бесчисленное множество решенийгдепроизвольная постоянная, т.е. все точки прямой(см. Р.8) являются решениями системы (3). И, наконец, еслии хотя бы один из определителейне равен нулю, то прямые (3) паралельны, а, значит, система (3) не имеет решений (см. Р.9).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Вычисляем определители

По теореме Крамера эта система либо имеет бесчисленное множество решений, либо не имеет их вообще. В нашем случае поэтому первое и третье уравнения принимают видНи при какихиэти равенства одновременно не выполняются, значит данная система решений не имеет.