Шпоргалка (механика-термодинамика)

14. Понятие работы. Работа переменной силы.

Работой постоянной силы F по перемещению S тела называется скалярная физическая величина, равная произведению величины силы на величину перемещения тела и на косинус угла между векторами силы и перемещения:

то есть скалярная физическая величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

Пусть к телу приложена сила , изменяющаяся во времени. Разобьем траекторию на такие малые участки, чтобы на каждом участке силу можно было считать постоянной. Тогда на i-м участке малая работа силы (обозначим ее ) может быть вычислена по формуле . Вся работа силы по перемещению тела из положения 1 в положение 2 будет равна сумме работ на отдельных участках:

Совпадение вычисленного результата с истинным будет тем более полным, чем меньшие векторы будем рассматривать. Поэтому определение механической работы произвольной силы при движении тела можно представить Такой интеграл носит название криволинейного интеграла вдоль траектории. Если выбрана система координат, и начальном 1 и конечному 2 положениям тела соответствуют радиусы-векторы и , то можно записать, что

Работа равнодействующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемой каждой из сил в отдельности.

15. Потенциальная энергия. Изменение потенциальной энергии. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия и упругой деформации. Потенциальные силы. Понятие поля сил. Критерий потенциальности поля.

Силовым полем наз. часть пространства, в каждой точке которой на помещенное туда материальное тело действует сила, модуль и направление которой зависят либо только от координат этого тела, либо от координат и от времени. В первом случае силовое поле наз. стационарным, во втором – нестационарным.

Существует особый класс полей, наз. потенциальными. Сила поля, действующая на тело, наз. потенциальной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения тела и не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения тела.

Можно сказать, что работа потенциальной силы по замкнутой траектории равна 0.

- критерий потенциальности поля

Пусть имеется система м. точек, между которыми и на которые действуют только потенциальные силы. Пусть система под действием этих сил перешла из одного состояния в другое. При этом потенциальные силы совершили работу, зависящую только от начального и конечного состояния системы. Тогда выберем эту работу в качестве величины, характеризующей изменение состояния системы. Введем функцию W_п (потенциальную энергию) , которую определим через работу потенциальных сил.

Изменение потенциальной энергии системы тел, между которыми действуют только потенциальные силы, равно взятой с обратным знаком работе этих сил при переходе системы из одного состояния в другое.

Потенциальная энергия системы в некотором состояние равна работе потенциальных сил, совершаемой при переходе из этого состояние в состояние, где W_пот=0.

Выбор нулевого уровня W_пот произволен, поскольку физически нас интересует изменение W_пот, которое не зависит от выбора нулевого уровня.

Говорят, что W_пот определена с точностью до постоянной, зависящей от выбора нулевого значения W_пот.

15. Потенциальная энергия. Связь между консервативной силой и потенциальной энергией. Градиент скалярного поля.

Пусть имеется система м. точек, между которыми и на которые действуют только потенциальные силы. Пусть система под действием этих сил перешла из одного состояния в другое. При этом потенциальные силы совершили работу, зависящую только от начального и конечного состояния системы. Тогда выберем эту работу в качестве величины, характеризующей изменение состояния системы. Введем функцию W_п (потенциальную энергию) , которую определим через работу потенциальных сил.

Интегральная связь между изменением потенциальной энергии и потенциальной силой:

Решим обратную задачу: зная значение W_пот (по отношению к заранее выбранному нулевому уровню), которой обладает м. точка, помещенная в силовое потенциальное поле, найдем величину потенциальной силы. Рассмотрим бесконечно малой перемещение . Изменение W_пот на этом перемещении будет Пусть перемещение тела происходит только вдоль оси ОХ так, что y = const и z = const. Тогда (частная производная по х). Аналогично

Тогда вектора силы можно представить следующим образом:

Вектора, компоненты которого равны соответствующим частным производным скалярной величины по координатам, носит название градиента скалярной функции. Таким образом,

16. Общефизический закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Пример использования закона сохранения механической энергии.

Общефизический закон сохранения энергии: в изолированной системе энергия может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

Рассмотрим систему м. точек. Силы, действующие как на тела системы (внешние силы), так и силы взаимодействия тел системы (внутренние силы), могут быть как потенциальными, так и непотенциальными. Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:

Закон изменения мех. энергии: изменение механической энергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальных сил.

Закон сохранения механической энергии: если работа внешних и внутренних непотенциальных сил = 0, то механическая энергия системы не меняется.

Система наз. консервативной, если внутри системы действуют только потенциальные силы. Тогда можно сказать, что мех. энергия замкнутой и консервативной системы сохраняется.

Абсолютно упругий удар — модель соударения, при которой полная кинетическая энергия системы сохраняется. В классической механике при этом пренебрегают деформациями тел. Соответственно, считается, что энергия на деформации не теряется, а взаимодействие распространяется по всему телу мгновенно.

Абсолю́тно неупру́гий удар — удар, в результате которого компоненты скоростей тел, нормальные площадке касания, становятся равными. Если удар был центральным (скорости были перпендикулярны касательной плоскости), то тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело.

17-18. Преобразования Галилея. Принцип относительности.

По первому закону Ньютона, существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых м. точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

В классической механике преобразование координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой выглядят следующим образом:

, где

r₁ и t₁- радиус-вектор и время в первой ИСО

r₂ и t₂ - радиус-вектор и время во второй ИСО

v₁₂ – скорость второй СО относительно первой СО

Здесь для простоты принято, что в начальный момент времени начала отсчета систем координат совпадают.

Условно первую ИСО называют "неподвижной", а вторую ИСО - "подвижной". Ясно, что обе системы, на самом деле, полностью равноправны.

Из преобразования Галилея прямо следует закон сложения скоростей:

Если еще раз продифференцировать полученный закон сложения скоростей:

то получаем, что ускорение одинаково (инвариантно) во всех инерциальных системах отсчета.

Здесь при дифференцировании мы учли, что ИСО движутся относительно друг с постоянной скоростью:

Аналогично можно доказать, что масса и сила также одинаковы (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета. Например, все известные нам силы зависят от расстояния между телами (сила гравитации, сила электростатического взаимодействия, сила упругости) или относительной их скорости (сила трения, сила магнитного взаимодействия между движущимися зарядами). Но согласно преобразованию Галилея, расстояние между телами и скорость их относительного движения одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что величины сил инвариантны.

Относительность механического движения и одинаковость законов механики в разных инерциальных системах отсчета называется принципом относительности Галилея. Таким образо, все инерциальные системы отсчета по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это означает, что никакими механическими опытами, проводимыми в данных системах, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется.

19.СТО Общая теотрия

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями.

Ключевым для аксиоматики специальной теории относительности является принцип относительности, утверждающий равноправие инерциальных систем отсчёта. Это означает, что все физические процессы в инерциальных системах отсчёта описываются одинаковым образом. Совместно с остальными постулатами, перечисленными выше, принципа относительности достаточно, чтобы получить явный вид преобразований координат и времени между ИСО.

Для этого необходимо рассмотреть три инерциальные системы S1, S2 и S3. Пусть скорость системы S2 относительно системы S1 равна , скорость системы S3 относительно S2 равна , а относительно S1, соответственно, . Записывая последовательность преобразований (S2, S1), (S3, S2) и (S3, S1), можно получить следующее равенство :

Так как относительные скорости систем отсчёта  и  произвольные и независимые величины, то это равенство будет выполняться только в случае, когда отношение  равно некоторой константе , единой для всех инерциальных систем отсчёта, и, следовательно, . Существование обратного преобразования между ИСО, отличающегося от прямого только заменой знака относительной скорости, позволяет найти функцию .

y =y` z=z`

19.Выводы

Преобразования (S2, S1) (S3, S2) имеют вид:

где , и т.д. Подстановка  из первой системы во вторую, даёт:

Второе равенство является записью преобразований между системами S3 и S1. Если приравнять коэффициенты при  в первом уравнении системы и при  во втором, то:

Разделив одно уравнение на другое, несложно получить искомое соотношение.

Так как относительные скорости систем отсчёта  и  произвольные и независимые величины, то это равенство будет выполняться только в случае, когда отношение  равно некоторой константе , единой для всех инерциальных систем отсчёта, и, следовательно, .

Существование обратного преобразования между ИСО, отличающегося от прямого только заменой знака относительной скорости, позволяет найти функцию .

В силу принципа относительности две инерциальные системы отсчёта S и S' полностью равноправны. Поэтому должно существовать обратное преобразование от S' к S, в котором перед скоростью должен быть знак минус: Во втором равенстве подставлено прямое преобразование:

и учтено, что  Воспользовавшись свойством чётности  (аксиома изотропности), несложно получить, что . При извлечении квадратного корня необходимо выбрать знак плюс, чтобы, например, время событий, происходящих в точке x=0, были положительными  при  (время "течёт" в одну сторону).

30. Первое начало термодинамики (различные формулировки). Применение первого начала термодинамики к изохорическому и адиабатическому процессу.

Первое начало термодинамики:

- изменение внутренней энергии системы равно сумме работы, совершенной внешними силами над системой, и количества теплоты, сообщенного

системе. Или

- количество теплоты, сообщенное системе, расходуется на изменение внутренней энергии этой системы и на совершение системой работы над внешними телами.

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты первое начало термодинамики записывается так:

Элементарное количество теплоты, сообщаемое термодинамической системе для изменения ее температуры на dT:

Изменение внутренней энергии идеального газа:

Элементарная работа, совершаемая газом над внешними телами:

Изохорный процесс:

Адиабатный процесс:

20. Сложение скоростей

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости  относительно системы S и  — относительно S', то между ними существует следующая связь:

В этих соотношениях относительная скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях () переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью света  вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S': . Это означает, что скорость  является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

Четырёхмерное пространство-время

Преобразования Лоренца оставляют инвариантной (неизменной) следующую величину, называемую интервалом:где , и т. д. — являются разностями времён и координат двух событий. Если , то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если , то пространственноподобным. Наконец, если , то такие интервалы называются светоподобными. Светоподобный интервал соответствует событиям, связанным сигналом, который распространяется со скоростью света. Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение относительно двух инерциальных систем отсчёта: 

По своей форме интервал напоминает расстояние в евклидовом пространстве. Однако он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события, поэтому говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчета и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал), лежат на так называемом световом конусе

21.Замедление темпа хода движущихся часов. Лоренцево сокращение (отрезка)

Замедление времени

Если часы неподвижны в системе , то для двух последовательных событий имеет место . Такие часы перемещаются относительно системы  по закону , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:Важно понимать, что в этой формуле интервал времени  измеряется одними движущимися часами . Он сравнивается с показаниями  нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе , мимо которых движутся часы . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы  идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов. Если часы движутся с переменной скоростью  относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т.н. собственное время), не зависит от ускорения, и может быть вычислено по следующей формуле:

где при помощи интегрирования суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т.н. мгновенно сопутствующих ИСО).

Сокращение линейных размеров

Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются:

,

где  — длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а  — длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т.н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением. При визуальном наблюдении движущихся тел дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения.

22-23. Энергия и импульс

Если частица с массой m движется со скоростью , то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости:

Эти соотношения обобщают классические выражения для энергии и импульса, получающиеся в результате разложения в ряд по :

При нулевой скорости энергия частицы называется энергией покоя: . В современной физической литературе принято, чтоm — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной. Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости  не используется  , хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: .

При приближении скорости тела к скорости света его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты не способны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях, близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4 относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3%.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи:

Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса должна быть равна нулю 

24.Термодинамическая система. Статистический и термодинамический методы исследований. Параметры состояния системы. Равновесное состояние. Равновесный процесс. Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа.

Термодинамическая система — это некая физическая система, состоящая из большого количества частиц, способная обмениваться с окружающей средой энергией и веществом. Также обычно полагается, что такая система подчиняется статистическим закономерностям.

Состояние систем, состоящих из большого числа частиц (молекул) описывается различными параметрами, поведение которых изучается термодинамическим и молекулярно-статистическим методами, которые взаимно дополняют друг друга. В основе первого лежит применение двух опытных законов: общефизического закона сохранения энергии (он в термодинамике наз. первым началом термодинамики) и закона, определяющего направление протекания процессов взаимодействия в природе (второе начало термодинамики). В основе молекулярно-статистического метода лежит представление о свойствах молекул. Математическая основа этого метода – теория вероятности.

Любая выделенная макроскопическая система, которая рассматривается методами термодинамики, наз. термодинамической.

Термодинамическими параметрами (параметрами состояния) наз. физические величины, служащие для характеристики состояния термодинамической системы. Примерами термодинамических параметров являются давление, объем, концентрация, температура и др.

Равновесным состоянием наз. состояние, в котором все параметры состояния имеют определенное, одинаковое во всех точках системы, значение, не изменяющееся с течением времени. Равновесное состояние – состояние, к которому придет рано или поздно неравновесная термодинамическая система, если ее изолировать или создать неизменные внешние условия.

Термодинамический процесс – переход системы из одного состояния в другой.

Расновесным процессом наз. бесконечно медленный процесс, состоящий из последовательности равновесных состояний. Практически близким к равновесному является процесс, протекающий настолько медленно, что отклонение значений параметров от равновесных пренебрежимо малы. Такие процесс наз. квазистатическими.

Идеальным наз. газ, взаимодействием между молекулами которого можно пренебречь.

Для модели идеального газа приняты следующие условия:

- молекулы имеют пренебрежимо малые размеры по сравнению с объемом газа;

- молекулы участвуют в хаотическом тепловом движении, характеризующимся равновероятным направлением скорости (то есть среднее значение любой из трех проекций скорости равно нулю);

- взаимодействие молекул друг с другом и со стенками сосуда носит характер абсолютно упругого удара.

Можно доказать, что не все параметры термодинамической системы, находящейся в равновесном состоянии, независимы: внутренние параметры такой системы зависят только от ее внешних параметров и температуры. Уравнение, связывающее любой термодинамический параметр системы с параметрами, принятыми в качестве независимых переменных, наз. уравнением состояния. Уравнение состояния, связывающее для однородного тела давление р, объем V и температуру Т, наз. термическим уравнением состояния: f(p,V,T)=0

Уравнение состояние идеального газа (уравненение Клапейрона-Менделеева):

R=8,31 Дж/(моль·К)