Шпоргалка (механика-термодинамика)

1. Материальная точка. Абсолютно твердое тело. Тело отсчета. Система отсчета. Кинематический закон движения материальной точки. Вектор перемещения. Скорость и ускорение. Путь.

Материальной точкой называется физическое тело, размерами которого можно пренебречь в следующих условиях:

1. Размеры тела много меньше его перемещения в пространстве.

2. Тело движется поступательно. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково.

При поступательном движении любая прямая, проходящая через любые две точки тела, остается параллельной самой себе. В случае поступательного движения тела достаточно знать движение какой-либо одной из его точек, а само тело рассматривать как материальную точку.

3. Размеры тела много меньше расстояний от него до других тел.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется при любом движении тела.

Тело отсчета – это тело, относительно к-рого рассматривают положение других тел.

Системой отсчета (СО) называется совокупность:

- физического тела отсчета,

- связанной с ним системы координат,

- указание начала отсчета времени.

Радиус-вектором точки в пространстве называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку пространства.

Траекторией данной точки тела называется множество точек пространства, проходимых этой точкой во время движения тела.

Для описания движения м. точки необходимо задавать кинематический закон движения, т.е. уравнение или систему уравнения, определяющих положение тела в любой момент времени относительно выбранной с. отсчета. В случае векторного способа задания положения точки в пространстве кинематический закон ее движения имеет вид , а при координатном способе он может быть записан в виде

Перемещением называется векторная физическая величина, равная вектору, соединяющему начальное положение материальной точки с ее текущим положением.

Перемещение материальной точки равно разности радиус-векторов этой точки, соответствующих текущему ее положению и ее начальному положению:

Путем называется скалярная физическая величина, равная длине дуги траектории, пройденной телом за заданное время.

Разобьем траекторию L м. точки на бесконечно малые участки длиной dL. Каждому участку траектории dL будет соответствовать перемещение . Разделим это перемещение на промежуток времени dt, за который м. точка проходит путь . Тогда получим мгновенную скорость в данной точке тр-и:

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости и определяется как производная скорости по времени:

2-3. Вектор ускорения. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематический закон движения тела в случае постоянного ускорения. Границы применимости классического способа описания движения точки.

В общем случае направление вектора ускорения тела неизвестно. Для его нахождения выберем в каждой точке траектории два единичных вектора и . направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, а - по нормали в сторону вогнутости траектории.

Проекция на направление наз. нормальным (центростремительным) ускорением, а на направление тангенциальным (касательным) ускорением

, где - модули тангенциального и нормальных ускорений

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение скорости по величине:

Нормальное ускорение отвечает за изменение вектора скорости по направлению:

Равнопеременным движением называется движение с постоянным ускорением.

Законы изменения координат тела:

Все вышеизложенное относится к классическому способу описания движения м. точки. В случае неклассического рассмотрения движения микрочастиц понятия траектории их движения не существует, но можно говорить о вероятносит нахождения частицы в той или иной области пространства. Для микрочастицы нельзя одновременно указать точные значения координаты и скорости. В квантовой механике существует соотношение неопределенностей

В. Гайзенберга , где h=1,05∙10^-34 Дж∙с (постоянная Планка), которое определяет погрешности одновременного измерения координаты и импульса

4. Абсолютно твердое тело.

Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела. Кинематические характеристики вращательного движения (угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение), связь их с линейными характеристиками движения точек тела.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется при любом движении тела.

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково.

При поступательном движении любая прямая, проходящая через любые две точки тела, остается параллельной самой себе. В случае поступательного движения тела достаточно знать движение какой-либо одной из его точек, а само тело рассматривать как материальную точку.

Вращательным движением абсолютно твердого тела наз. такое, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. За бесконечно малый промежуток времени dt все точки тела повернутся на бесконечно малый угол dφ. Будем считать угол поворота вектором, который направлен по оси вращения тела в сторонв, определяемую правилом правого винта (если правый винт вращать по направлению вращения твердого тела вокруг оси, совпадающей с осью вращения тела, то напраление поступательного движения винта дает направление вектора угла поворота тела .

Рассмотрим поворот тела на малый угол за время dt. Угловой скоростью тела наз. векторная величина , причем направление совпадает с направлением вектора . Вращение наз. равномерным, если модуль угловой скорости при вращении тела остаетсяя постоянным. В этом случае φ = ωt.

При неравномерном вращении тела вводится векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, наз. угловым ускорением: .

Векторы и сонаправлены при ускоренном и противоположны при замедленном вращении тела. Таким образом, направление вектора определяется направлением вектора приращения угловой скорости .

Если твердое тело вращается относительно оси, то каждая точка тела имеет определенную линейную скорость . Пусть твердое тело повернулось на угол . Тогда произвольная точка тела М совершила перемещение . Вектор направлен по касательной к траектории точки М и при малом направление стремится на направлению . Выберем на оси вращения произвольную точку О, наз. полюсом, и поместим в нее начало координат. Положение точки М задается радиус-вектором , который в общем случае составляет с осью вращения угол β.

5. Динамика материальной точки. Масса. Сила. Импульс тела, импульс силы. Законы Ньютона.

Динамика – это раздел физики, отвечающий на вопрос, почему так или иначе движется тело. Законы динамики были сформулированы Ньютоном в 1686г. Они являются обобщением опытных фактов, накопленных человеком в течение многих лет. Для того, чтобы сформулировать законы динамики, необходимо ввести ряд понятий.

Сила определяется как физическая величина, служащая мерой воздействия на данное тело другого тела. Это векторная величина.

Действие силы приводит:

1. к изменению скорости (т.е. тело получает ускорение);

2. к деформации;

Действие силы зависит:

1. от числового значения (модуля);

2. от направления;

3. от точки приложения.

Тело получает ускорение (изменяет скорость) под действием другого тела. В природе сущ. взаимодействие – действие тел друг на друга.

Из опытов установили, что при вз-и двух тел:

1. оба тела получают ускорение, напр. в разные стороны:

2. отношение ускорений тел при любых вз-ях постоянно.

То тело, к-рое при вз-и получает меньшее ускорение, т.е. меньше изменяет скорость, ближе к состоянию инерции, и оно более инертно.

Инертность – свойство тела, состоящее в том, что для изменения скорости телу нужно время, чем оно больше, тем тело инертнее. Масса – мера инертности. Чем > тело изменяет v, тем > a, тем оно менее инертно, его m<, и наоборот.

В природе существует 4 типа вз-ий:

1) гравитационное

2) слабое

3) электромагнитное

4)сильное

2-й закон Ньютона.

Из опыта стало известно, что при действии одной и той же силы на разные тела оказывается одинаковым произведение массы тела на его ускорение. Поэтому произведение массы тела на его ускорение принято за величину, выражающую силу.

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение.

Если на тело действует несколько сил, то ускорение тела равно векторной сумме ускорений, вызванных каждой силой в отдельности. А в результате оно будет таким, как будто бы его сообщила одна сила, заменяющая действие всех, ее называют равнодействующей, она равна векторной сумме сил, действующих на тело.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми две м. точки действуют друг на друга в ИСО, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Импульсом тела называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

В системе СИ за единицу измерения импульса - килограмм на метр в секунду (кгм/с) - принят импульс тела массой в 1 килограмм, движущегося со скоростью 1 метр в секунду.

Импульсом силы называется векторная физическая величина, равная произведению силы на интервал времени ее действия:

Импульсом системы сил называется векторная физическая величина, равная произведению векторной суммы этих сил (то есть равнодействующей этих сил) на интервал времени их действия:

В системе СИ за единицу импульса силы - ньютон на секунду (Нс) или килограмм на метр в секунду (кгм/с) - принимается импульс силы величиной в 1 ньютон, которая действует в течение 1 секунды.

(Второй закон Ньютона в импульсной форме)

6. Система материальных точек. Центр масс системы материальных точек. Теорема о движении центра масс системы материальных точек.

Любое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Центром масс системы взаимодействующих материальных точек называется такая точка пространства, радиус-вектор которой определяется выражением:

, где m_i и - масса и радиус-вектор i-ой частицы, М – масса всей системы тел.

Центра масс системы совпадает с ее центром тяжести, если поле сил тяжести в пределах данной системы тел можно считать однородным. Скорость центра масс:

Если скорость центра масс равна 0, то говорят, что система в целом покоится. Сама же скорость центра масс имеет смысл скорости движения всей системы как целого. Из последней формулы следует:

, т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставим эту формулу (закон изменения импульса) и учтем, что масса системы тел постоянна. Тогда ,

где - результирующая всех внешних сил, действующих на систему.

Полученное выражение наз. уравнением движения центра масс системы тел. Согласно этому уравнению, центр масс любой системы тел движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке, и к ней были бы приложены все внешние силы.

Если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то импульс системы сохраняется в процессе движения. Справедливо и обратное утверждение.

7. Система материальных точек. Внутренние и внешние силы. Импульс материальной точки и импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса. Условия его применимости.

Любое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Рассмотрим систему N м. точек массами , которые могут взаимодействовать друг с другом и с внешними телами, не входящими в данную систему. Положение каждой м. точки в системе задается радиусом-вектором в выбранной СО. Пусть на i-ю точку со стороны k-й действует сила . Тогда по 3-му з-ну Ньютона на k-ю точку действует сила , причем . Силы, с которыми тела, входящие в рассматриваемую систему тел, взаимодействуют друг с другом наз. внутренними силами. Силы, с которыми тела, не входящие в рассматриваемую систему тел, действуют на м. точки рассматриваемой системы наз. внешними силами.

Запишем 2-й з-н Ньютона для каждой точки:

где - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-ю точку.

Сложив эти уравнения, получим

причем во втором слагаемом правой части этого выражения отсутствуют члены с индексами i = k. Импульсом системы м. точки наз. геометрическая сумма импульсов всех ее тел

. Тогда, поскольку , то

В соответствии с 3-им законом Ньютона , поэтому

Из полученной формулы следует, что импульс системы м. точек могут изменить только внешние силы, если их геометрическая сумма не равна 0. Система тел называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы или действие этих сил взаимно компенсировано. Импульс замкнутой системы взаимодействующих тел не изменяется при любом движении тел системы (Закон сохранения импульса системы взаимодействующих тел):

Строго говоря, закон сохранения импульса выполняется только для замкнутой системы

Но если на систему не действуют ударные (импульсные) силы, то для малых интервалов времени можно с достаточной степенью точности считать, что импульс сохраняется. Например, в задачах на соударения и в задачах о взрывах импульсом ограниченной силы тяжести можно пренебречь

Кроме того, сохраняется проекция импульса системы взаимодействующих тел на ту ось, вдоль которой внешние силы не действуют:

Если в задаче, описывающей кратковременное взаимодействие тел, не задано время взаимодействия, то предполагается модель бесконечно малого времени взаимодействия

В этом случае можно учитывать лишь ударные (импульсные) силы.

8.Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Вращательным движением абсолютно твердого тела наз. такое, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Рассмотрим вращение м. точки массой m вокруг некоторой оси по окружности радиусом R под действием силы F.

Положение точки определяется

радиусом-вектором r,

проведенным из произвольного

полюса О, лежащего на оси

вращения.

Векторное произведение радиуса-вектора точки, проведенного из полюса, на вектор силы носит название момента силы относительно полюса:

Модуль момента силы

h – плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Момент силы относительно полюса не меняется при переносе силы вдоль линии ее действия, поскольку при этом не меняется плечо силы.

Момент равнодействующей нескольких сил равен сумме моментов каждой силы относительно полюса.

Таким образом, основное уравнение динамики вращательного движения м. точки может быть записано в виде

, т.е. скорость изменения момента импульса м. точки равна суммарному моменту сил, действующих на нее.

Основное уравнение динамики вращательного движения системы материальных точек:

т.е. скорость изменения момента импульса системы м. точек равна суммарному моменту внешних сил, действующих на нее.

9.Момент инерции тела относительно оси.

Расчёт моментов инерции тел простейшей формы.

Момент инерции: ,

где индекс «z» указывает на выбранную ось.

Иная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения м. точки:

Момент инерции – мера инертности м. точки во вращательном движении, он определяет момент сил, который должен быть приложен к телу для придания ему определенного углового ускорения.

Момент инерции твердого тела – это сумма моментов инерции отдельных м. точек, его составляющих:

Момент инерции обладает свойством аддитивности, т.е. момент инерции системы точек равен сумме моментов инерции каждой точки в отдельности. Момент инерции зависит от выбора оси вращения системы.

Кольцо

Диск, цилиндр

Стержень

Шар

Сфера:  

 При вычислении момента инерции тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр инерции , следует пользоваться теоремой о параллельном переносе осей, или теоремой Штейнера основным уравнением динамики поступательного движения

Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

10. Момент импульса точки, тела, системы тел. Закон сохранения момента импульса, условие его применимости. Пример.

Рассмотрим вращение м. точки массой m вокруг некоторой оси по окружности радиусом R под действием силы F.

Положение точки определяется радиусом-вектором r, проведенным из произвольного полюса О, лежащего на оси вращения.

Векторное произведение радиуса-вектора м. точки, проведенного из полюса, на импульс этой точки называется моментом импульса м. точки относительно полюса:

Моментом импульса системы точек относительно полюса наз. сумма моментов импульсов каждой м. точки системы относительно этого полюса:

Основное уравнение динамики вращательного движения системы материальных точек:

т.е. скорость изменения момента импульса системы м. точек равна суммарному моменту внешних сил, действующих на нее.

Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему точек, равен 0, то момент импульса такой системы остается постоянным. Это – закон сохранения момента импульса.

11.Закон сохранения импульса.

Вывод из формализма Ньютона

Рассмотрим второй закон Ньютона

Перепишем его для системы из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида  и  будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть  Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

или

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

 (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы. Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы. Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса  зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

Закон сохранения импульса

1) Если сумма ПРОЕКЦИЙ внешних сил на какую-либо ось координат равна нулю, то сохраняется ПРОЕКЦИЯ полного импульса системы на эту ось.  2) Если в кратковременном процессе (например взрыв снаряда или соударение двух тел) возникающие внутренние силы ГОРАЗДО БОЛЬШЕ внешних (например силы, разрывающие снаряд, гораздо больше силы тяжести), то за время этого процесса изменением импульса МОЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ.

12.Кинетическая энергия материальной точки.

Вращательное движение твердого тела. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Работа при вращательном движении.

Пусть материальная точка движется из положения 1, где она имела скорость , в положение 2, где скорость стала равной . Обозначим равнодействующую всех сил, приложенных к точке, через и найдем ее работу по перемещению тела. Получим Величина наз. кинетической энергией Е_к м. точки. Так как работа равнодействующей силы равна сумме работ сил, то можно записать, что

Таким образом, доказана теорема об изменении кинетической энергии: изменение кин. энергии м. точки равно алгебраической сумме работ всех приложенных к ней сил.

Вращательным движением абсолютно твердого тела наз. такое, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

А – работа сил, приложенных к материальной точке при вращении.

Если рассматривать абсолютно твердое тело как систему м. точек, то поскольку внутренние силы работы не совершают, то работа, совершаемая внешними силами при повороте тела относительно оси z:

- кинетическая энергия при вращении тела относительно неподвижной оси z

13.Кинетическая энергия сложного движения.

Теорема Кёнинга. Теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс.

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

Ек=Ек+Еi

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы во вращательном движении относительно центра масс.

Выразим относительную кинетическую энергию T_r системы S как энергию, вычисленной относительно подвижной системы координат. Пусть  — радиус-вектор рассматриваемой точки в подвижной системе координат. Тогда:

Если  — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а  — радиус-вектор рассматриваемой точки в исходной системе координат, то верно соотношение: Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, если начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учетом предыдущего соотношения:Раскрывая скобки и вынося из-под знака интеграла, получаем:

Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию материальной точки, помещённой в начало координат подвижной системы и имеющей массу, равную массе этой системы. Второй член равен нулю, так как по предположению начало координат подвижной системы помещено в её центр масс, следовательно, . Третий член равен , введённой ранее относительной энергии системы.

Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки будет справедлива для любой точки системы Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем: - теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение теперь можно записать:

В динамике вводится такое понятие как "идеальная" механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть

Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется: