otvety

Пусть функция  имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций  и , получить зависимость  от : . Зависимость величины  от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра  в виде , называется функцией , заданной параметрически.

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций  и : поскольку  и, по формуле производной обратной функции, , то

где  -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между  и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через  в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра .

 

20)Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси  и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла  при  называется несобственным интегралом функции f(x) от a до  и обозначается .  Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл  называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом  будем обозначать ; символом  - соответственно, ; тогда можно записать , , , подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто:  - интеграл сходится;  - интеграл расходится.

Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть  , ; если , то ; если  то ; Поэтому  (это уже собственный интеграл) =  .

21)Вычисление площади в декартовых координатах

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a, x=b, a<b, и кривыми  , то ее площадь вычисляется по формуле

 (рис. 1).

Аналогично можно рассматривать фигуру относительно оси ОУ.

В некоторых случаях границы х=а и х=b могут вырождаться в точку пересечения кривых  .

В сложных случаях область следует разбить на фигуры, границы которых удовлетворяют указанным соотношениям.

При решении задач удобно придерживаться следующего порядка:

-  построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;

-  найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;

-  записать формулу для вычисления и найти площадь.

Вычисление площади в полярных координатах

Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе координат кривой  , где  - неотрицательная непрерывная кривая на отрезке  . Разобьем угол  на nчастей лучами  <  <…<  и обозначим  

Площадь криволинейного сектора равна сумме n площадей  , заданных разбиением  , i = 1, 2, …, n, .Выберем один из элементов разбиения  , соответствующий сектору  , и зафиксируем на этом промежутке произвольное значение  . Значение функции  в точке  обозначим  и заменим площадь криволинейного сектора круговым сектором радиуса  , площадь которого  . Выполним такую же операцию на каждом участке разбиения  и просуммируем полученные значения.Сумма площадей круговых секторовпредставляет собой интегральную сумму , предел которой, существующий в силу непрерывности функции  , равен определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных координатахПри вычислении площади фигуры в полярных координатах рекомендуется придерживаться такого же порядка исследования, что и в декартовых координатах: построение чертежа, вычисление точек пересечения кривых, образующих границу фигуры; запись формулы.

22)Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси  и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла  при  называется несобственным интегралом функции f(x) от a до  и обозначается . Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл  называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их. 

25)Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА

В форме Лагранжа:В форме Коши:

23-24)Вычисление длины дуги кривой.

Пусть в декартовой системе координат на плоскости дана кривая, являющаяся графиком непрерывной дифференцируемой функции y=f(x) с непрерывной производной на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками . Найдем значения функции f(x) в точках разбиения. Тогда дуга кривой f(x) на [a,b] разобьется на n частей точками

 . Проведем хорды  и обозначим их длины  соответственно. Полученная ломаная имеет длину  .

 Длиной дуги кривой y=f(x) на отрезке [a,b] называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной при стремлении к нулю длины ее наибольшего звена (или, что то же самое, при неограниченном увеличении числа точек деления) .Длина отдельного звена ломаной может быть найдена как длина отрезка  : .Поскольку функция f(x) непрерывна и дифференцируема на всем промежутке [a,b], то, по теореме Лагранжа о дифференцируемых функциях, найдется такая точка  на отрезке  , что .Если обозначить  , то формулу для  можно переписать в видеТаким образом, длина дуги y=f(x) на отрезке [a,b] определяется формулойв силу непрерывности f’(x) и определения интегральной суммы. Выражение   называется дифференциалом  дуги. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.

Если кривая задана уравнением x=f(y), yÎ[a,b], то, рассуждая аналогично, можно получить формулу ,  .Если кривая на плоскости задана параметрически: x=x(t), y=y(t),  ;  , где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, имеющие на отрезке   непрерывную производную, то, выполнив замену переменной в предыдущих формулах, получим: , Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t),  , где x(t), y(t), z(t) – дифференцируемые на отрезке функции с непрерывной производной, то длина кривой вычисляется по формуле ,  .Пусть в полярных координатах кривая задана уравнением  , где  - дифференцируемая функция с непрерывной на  производной  . Запишем формулы перехода от декартовой системы координат к полярной:  . Если в эти формулы подставить  , то получится параметрическое задание кривой, где параметр  - полярный угол. Тогда по формуле для параметрически заданной функции можно найти длину дуги кривой . ,  .