Билет №1

Число  называется пределом функции  на бесконечности или при , если для любого  существует число такое, что для всех  из того, что , выполняется неравенство .

Число  называется пределом функции  в точке , если для  такое, что для  из того, что следует, что  :  или при  .

Число  называется пределом функции  в точке , если для любой последовательности  , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число  называется правым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число  называется левым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 2). Левый предел обозначается 

Билет №2

Функция называется бесконечно малой функцией (б.М.Ф.) при (или в точке ), если Основные свойства бесконечно малых функций

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2°   Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6°   Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

(Правило Лопиталя).

Пусть функции  и  удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;2)  и  в этой окрестности;

3) ;

4)  существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем 

Билет №3

Функция  называется непрерывной в точке , если:

1. функция  определена в точке  и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции  в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е. 

4. Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называетсянепрерывной в этой области.

5. Функция  называется непрерывной справа в точке , если .

6. Функция  называется непрерывной слева в точке , если .

7. Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

8. Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть  и непрерывной слева в точке , то есть  .

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в точке и ее окрестности;

2. Существует конечный предел функции в точке ;

3. Это предел равен значению функции в точке , т.Е.

называется точкой разрыва функции.

Если в точке  существуют конечные пределы  и , такие, что , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Если хотя б один из пределов  или  не существует или равен бесконечности, то точка  называется точкой разрыва второго рода.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции  в точке :  или функция  не определена в точке , то точка  называется точкой устранимого разрыва.

Билет 4

Производная функции:

Производной от функции f в точке х наз. пре­дел отношения её приращения y в этой точке к соответствующему приращению аргумента x, когда послед­нее стремится к нулю. Производную принято обозначать так:

f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x (1)

Геометрический смысл производной:

Пусть на интервале (а,b) задана непрерывная функ­ция у=f(x). Её график наз. непрерывной кривой. Обозначим его через Г. Зададим на Г точку А=(х,f(х)) (рис) и поставим целью определить касательную к Г в этой точке. Для этого введем на Г другую точку B=(x+x,f(x+x)), где x0 (рис. 1 изобра­жён случай x>0, а на рис. 2 – случай x<0). Пря­мую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), наз. секущей и обозначим через S. Угол, который S образует с положительным направлением оси х, обозначим через . Мы считаем, что –/2<< /2. При >0 угол отсчи­тывается от оси x против часовой стрелки, а при <0 по часовой стрелке. На данных рисунках >0. На рис. 1 x=AC, y=СВ, а на рис. 2 x=–AC, y=–СВ, В обоих случаях y/x=tg.

Определение: Касательной к кривой Г (y=f(x)) в её точке А=(х,f(х)) наз. направленная пря­мая Т, к которой стремится секущая S (направленная в сторону возрастания х прямая), проходящая через А и точку В=(x+x,f(x+x))Г, когда x>0. Мы доказали, что если непрерывная, функция у=f(х) имеет конечную производную f'(х) в точке х, то её гра­фик Г в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом tg=f'(х) (–/2<</2). Обратно, существование предела lim=(–/2<</2)

влечет за собой существование конечной производной f'(х) и справедливость равенств (1), (2). Может случиться, что f имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой: f'(x)f'_пр(x).

Билет №5

Производная сложной функции:

Теорема №1: Если функция x=(t) имеет производ­ную в точке t, а функция y=f(x) имеет производную в точке х, то сложная функция у=F(t)=f[(t)] (1) имеет производную (по t) в точке t и справедлива равен­ство F'(t)=f'(x)'(t) (2) или y'_t=y'_xx'_t (3) Доказательство: Зададим t, ему соответствует значение х=(t). Придадим t приращение t0. это вызовет приращение x=(t+t)– (t). Так как функ­ция y=f(x) имеет производную в точке х, то на осно­вании равенства f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x, имеем

y=f'(x)x+(x)x (4), где (x)0 при х0. Будем считать, что (0)=0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т.к. если подставить в него x=0, то получится 0=0. Разделим теперь равенство (4) на t0: y/t=f'(x)(x/t)+ (x)(x/t) (5). Пусть t0. Тогда, потому что функция x(t)(t) имеет производную в точке t и, =>, непрерывна. Переходим в равенстве (5) к пределу при t0. Тогда x0 и (x)0, поэтому получим y'_t=f'(x)x'(t)+0x'(t)=f'(x)x'(t)=y'_xx'_t. Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если – z=f(y), y=(x), x=() и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то z'_=z'_yy'_xx'_

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находитсялогарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что  является функцией от , то есть найдем производную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:

_{Билет 6}

Пусть функция  дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно  и нелинейного членов:

где  при .

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как  или . Таким образом:

Константу можно выносить за знак дифференциала.

2. Дифференциал суммы/разности.

Дифференциал суммы/разности функций равен суме/разности дифференциалов от каждого из слагаемых.

3. Дифференциал произведения.

4. Дифференциал частного.

Билет 7

Если функция  имеет производную в каждой точке  своей области определения, то ее производная  есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции  (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

Дифференциалом -го порядка  функции  называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

ейбница формула

        формула, выражающая производную n-го порядка (см. Дифференциальное исчисление) от произведения двух функций через производные сомножителей:

        

        .

         Эта формула была сообщена Г. Лейбницем в письме к И. Бернулли в 1695. Л. ф. облегчает вычисление производных высших порядков.

Билет 8

Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки  принимает вид:

Последнее слагаемое  называется остаточным членом в форме Пеано.

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточ­ным членом в форме Лагранжа.

Билет 9

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция  определена на интервале  и имеет непрерывную, не равную нулю в точке  вторую производную. Тогда, если  всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции  называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция  имеет перегиб в точке , то или не существует.

Функция  называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

Функция  называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

Если производная функции  на некотором промежутке , то функция  возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция  убывает на этом промежутке.

Точка  называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка  называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности .

Если функция  имеет экстремум в точке , то ее производная  либо равна нулю, либо не существует.

Билет 10

Теорема Лагранжа:

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а,b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а,b) точка с, для которой выполняется равен­ство f(b)–f(a)=(b-a)f'(c) при (а<с<b){1}. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический .смысл, если записать её в виде (f(b)–f(a))/(b–a)=f'(c) при (а<с<b).

Билет 11

Функция  называется первообразной для функции  на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом . То есть

Знак  называется интегралом,  - подынтегральным выражением,  - подынтегральной функцией, а  - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции  называется интегрированием функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Если в неопределенном интеграле  сделать подстановку , где функция  - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл  можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

Билет 12

Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция  называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,  – подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением,  – переменной интегрирования; отрезок  называется промежутком интегрирования.

Пусть на отрезке  задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл  от неотрицательной функции  с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых  и , снизу – отрезком  оси Ох.

Физический смысл определенного интеграла:

Путь S, пройденный телом при прямолинейном движении со скоростью v(t) за интервал времени от t1 до t2, вычисляется по формуле

S=t2t1v(t)dt

Билет 13

Рассмотрим функцию  , заданную на отрезке  , и предположим, что она интегрируема на отрезке  . Тогда при любом эта функция будет интегрируема на отрезке  и, следовательно, функция

определена при всех  . При  мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что  для любой функции  и точки  из её области определения. Итак, функция  равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции  , не обязательно непрерывной. Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятиемопределённого интеграла и вычислением первообразной.

Если  непрерывна на отрезке  и  — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Теорема. Пусть дан интеграл , где  непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с  равенством . Если

1) 

2)  и  непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения  не выходят за пределы отрезка  то

(5)

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид 

_{Билет 16}

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Сложение векторов  и  осуществляется по правилу треугольника.

Суммой  двух векторов  и  называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом  при условии, что конец вектора  и начало вектора  совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора  и привести к общему началу, то вектор  совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 2). Причем начало вектора  совпадает с началом заданных векторов.

Разностью  векторов  и  называется вектор  такой, что выполняется условие:  (рис. 3).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов  и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если векторы  и  заданы своими координатами: ,  , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

1