Информ / Сист

Пример 1.4.

Переведите число 1910 в двоичную систему счисления.

Решение

Последовательно делим исходное десятичное число и получаемые частные на основание системы (в данном задании – 2) нацело до тех пор, пока не получится частное, равное нулю. Полученные остатки от целочисленного деления записываем в обратной последовательности.

Ответ: (19)10 = (10011)2

19 2

18 9 2

1 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1 2

0 0 0

1

(19)10 = (10011)2

Пример1.5.

Переведите число 1101010102 в восьмеричную систему счисления.

Решение

1101010102 = 110 101 010 = 6528.

Ответ: 1101010102 = 6528.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Пример 1.6.

Найдите сумму 11101012 и 10110112. Ответ представьте в восьмеричной системе.

Решение

Найдем сумму 11101012 + 10110112 :

. . . . . .

1110101 + 1011011

11010000

11101012 + 10110112 = 110100002

Получившееся число переведем в восьмеричную систему счисления (разделим на триады):

11 010 0002 = 3208.

Ответ: 320.

Пример 1.7.

Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления:

114 + 118 + 1116 = ?10

Решение

Переведем все числа в десятичную запись и сложим результаты:

114 + 118 + 1116 = (1 · 41 + 1 · 40) + (1 · 81 + 1 · 80) + (1 · 161 + 1 · 160) = 5 + 9 + 17 = 3110.

Ответ: 31.

Задачи на определение оснований систем счисления

Пример 1.8.

В системе счисления с некоторым основанием число 65 записано как 1001. Укажите это основание.

Решение

Обозначим искомое основание через n. Исходя из правила записи чисел в позиционных системах счислениях, 1001n = n3 + 0 + 0 + n0. Тогда n3 + 1 = 65, а n = 4.

Ответ: 4.

Пример 1.9.

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 18 оканчивается на 3.

Решение

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. Поскольку 18 - 3 = 15, то искомые основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3, 5, 15. Но основание 3 нам не подходит, так как в троичной системе счисления не может использоваться цифра 3, а по условию именно на нее заканчивается число.

Ответ: 5, 15.

Непозиционные системы счисления

Методы решения задач с римскими цифрами, которые так же относятся непозиционной системе счисления, как правило не вызывают затруднений. Особенностью их решения является внимательность и знание основных цифр.

Для решения задач с римскими числами необходимо знать, что запись чисел в этой системе счисления осуществляется по следующим правилам:

1)если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IV: 1 < 5, следовательно, 5 – 1 = 4, XL: 10 < 50, следовательно, 50 – 10 = 40);

2)если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эта цифры складываются (VI: 5 + 1 = 6, VIII: 5 + 1 + 1 + 1 = 8, XX: 10 + 10 = 20);

Пример:

1964 =MCMLXIV

М – 1000, СМ – 900, LX – 60, IV – 4, здесь «девятьсот» получается посредством вычитания из «тысячи» числа «сто», «шестьдесят» — посредством сложения «пятидесяти» и «десяти», «четыре» — посредством вычитания из «пяти» «единицы».

Пример 1.10.

Переведите число MCMXCVI в десятичную систему счисления.

Решение

MCMXCVI = M + (M - C) + (C - X) + V + I = 1000 + 900 + 90 + 5 + 1 = 1996.

Ответ: 1996.

Пример 1.11.

Переведите число 462 в римскую систему счисления.

Решение

462 = 400 + 60 + 2 = (D - C) + (L + X) + (I + I) = CDLXII. Ответ: CDLXII.